Słownik pojęć

Słownik zbiera najważniejsze pojęcia z sekcji Podstawy i ekonometrii. Każde hasło zawiera cztery elementy: ścisłą definicję z wzorem, interpretację intuicyjną, kontekst historyczny (kto i kiedy wprowadził pojęcie) oraz zastosowanie ekonomiczne. Na końcu każdego hasła znajduje się odnośnik do pełnego artykułu. Hasła pogrupowane są tematycznie.

Analiza matematyczna

Funkcja

Matematyczna. Reguła $f\colon X\to Y$ przypisująca każdemu $x\in X$ dokładnie jedną wartość $y=f(x)$. Intuicyjna. Maszyna: jedno wejście → dokładnie jedno wyjście; to odróżnia funkcję od dowolnej relacji. Historyczna. Termin functio wprowadził Leibniz (XVII/XVIII w.), zapis $y=f(x)$ — Euler; ogólną definicję (dowolne jednoznaczne przyporządkowanie) — Dirichlet (XIX w.). Ekonomiczna. Model ekonometryczny jest funkcją wiążącą zmienne objaśniające ze zmienną objaśnianą. Zobacz: Funkcje i ich własności.

Dziedzina

Matematyczna. Zbiór $D_f$ dozwolonych argumentów; zbiór wartości $ZW_f$ to zbiór otrzymywanych wyników. Intuicyjna. „Dozwolone wejścia” — wyznacza je postać wzoru (zakaz dzielenia przez zero, pierwiastka i logarytmu z liczb ujemnych). Historyczna. Pojęcie sformalizowano wraz z teorią mnogości Cantora (XIX w.). Ekonomiczna. Dziedzina modelu to zakres sensownych wartości zmiennych (np. nieujemny dochód, cena dodatnia). Zobacz: Funkcje — dziedzina i przeciwdziedzina.

Monotoniczność

Matematyczna. Rosnąca: $x_1\lt x_2\Rightarrow f(x_1)\lt f(x_2)$; malejąca: $x_1\lt x_2\Rightarrow f(x_1)\gt f(x_2)$. Intuicyjna. Rosnąca zachowuje porządek argumentów, malejąca go odwraca. Historyczna. Pojęcie porządkowe obecne od początków analizy (XVIII w.). Ekonomiczna. Funkcja popytu jest malejąca, funkcja podaży rosnąca względem ceny. Zobacz: Funkcje — własności.

Funkcja wypukła

Matematyczna. Cięciwa łącząca dwa punkty wykresu leży nad wykresem; dla dwukrotnie różniczkowalnej $f''(x)\ge 0$. Intuicyjna. Wykres „wygina się w górę”, jak miska — gwarantuje jednoznaczność minimum. Historyczna. Teorię wypukłości rozwinęli m.in. Jensen i Minkowski (przełom XIX/XX w.). Ekonomiczna. Wypukłość funkcji celu zapewnia jednoznaczne optimum (minimalizacja kosztu, maksymalizacja użyteczności wklęsłej). Zobacz: Funkcje — wypukłość.

Złożenie funkcji

Matematyczna. $(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)$; na ogół $f\circ g\ne g\circ f$. Intuicyjna. Dwie maszyny w szeregu — wynik pierwszej wpada do drugiej. Historyczna. Notację $\circ$ upowszechniono w XX w. wraz z teorią odwzorowań. Ekonomiczna. Łańcuch zależności: koszt → cena → popyt; modelowanie wieloetapowych mechanizmów. Zobacz: Funkcje — złożenie.

Funkcja odwrotna

Matematyczna. $f^{-1}$ spełnia: $f(a)=b\Rightarrow f^{-1}(b)=a$; istnieje, gdy $f$ jest różnowartościowa. Intuicyjna. „Cofa” działanie $f$; jej wykres to odbicie względem prostej $y=x$. Historyczna. Logarytm jako odwrotność potęgowania wprowadził Napier (1614). Ekonomiczna. Odwrotna funkcja popytu (cena jako funkcja ilości) jest podstawą analizy przychodu. Zobacz: Funkcje — funkcja odwrotna.

Asymptota

Matematyczna. Prosta, do której wykres zbliża się nieograniczenie (pionowa, pozioma lub ukośna). Intuicyjna. „Linia, której krzywa nigdy nie dotyka, lecz coraz bardziej się do niej przylepia”. Historyczna. Pojęcie znane już Apoloniuszowi z Pergi (badania nad hiperbolą, III w. p.n.e.). Ekonomiczna. Krzywa kosztu przeciętnego dąży asymptotycznie do kosztu krańcowego; nasycenie rynku. Zobacz: Funkcje — asymptoty.

Granica

Matematyczna. $\lim_{x\to x_0}f(x)=g$, gdy $\forall\varepsilon\gt 0\,\exists\delta\gt 0:\,0\lt|x-x_0|\lt\delta\Rightarrow|f(x)-g|\lt\varepsilon$. Intuicyjna. Wartość, do której funkcja „zmierza”, niezależnie od wartości w samym punkcie. Historyczna. Od paradoksów Zenona, przez nieskończenie małe Newtona i Leibniza, po ścisłą definicję Cauchy’ego i Weierstrassa (XIX w.). Ekonomiczna. Podstawa kapitalizacji ciągłej i wartości bieżącej renty wieczystej. Zobacz: Granice i ciągłość.

Granica jednostronna

Matematyczna. Granica przy $x\to x_0^-$ lub $x\to x_0^+$; granica obustronna istnieje, gdy obie są równe. Intuicyjna. Sprawdzamy zachowanie funkcji osobno z każdej strony punktu. Historyczna. Rozróżnienie sformalizowano w XIX-wiecznej analizie Cauchy’ego. Ekonomiczna. Próg podatkowy: funkcja ma w punkcie skoku różne granice jednostronne. Zobacz: Granice jednostronne.

Ciągłość

Matematyczna. $f$ ciągła w $x_0$, gdy $f(x_0)$ istnieje, granica istnieje i $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$. Intuicyjna. Wykres można narysować „bez odrywania ołówka”. Historyczna. Ścisłą definicję podał Bolzano (1817) i Cauchy. Ekonomiczna. Ciągłość popytu i podaży gwarantuje istnienie ceny równowagi. Zobacz: Ciągłość funkcji.

Twierdzenie o wartości pośredniej

Matematyczna. Funkcja ciągła na $[a,b]$ z $f(a)\lt 0\lt f(b)$ przyjmuje wartość $0$ w pewnym $c\in(a,b)$. Intuicyjna. Ciągła funkcja nie może „przeskoczyć” żadnej wartości pośredniej. Historyczna. Udowodnione przez Bolzana (1817), stąd nazwa twierdzenie Bolzana-Cauchy’ego. Ekonomiczna. Gwarantuje istnienie ceny równowagi, gdy nadwyżka popytu zmienia znak. Zobacz: Granice — twierdzenie o wartości pośredniej.

Liczba e

Matematyczna. $e=\lim_{n\to\infty}\big(1+\tfrac1n\big)^n\approx 2{,}71828$ — podstawa logarytmu naturalnego. Intuicyjna. Granica nieograniczonego zagęszczania kapitalizacji odsetek. Historyczna. Stałą badał Jacob Bernoulli (problem procentu składanego, 1683), oznaczenie $e$ wprowadził Euler. Ekonomiczna. Kapitalizacja ciągła: $K_0 e^{rt}$; podstawa modeli wzrostu i dyskontowania. Zobacz: Granice — liczba e.

Pochodna

Matematyczna. $f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$. Intuicyjna. Chwilowe tempo zmian; nachylenie stycznej do wykresu. Historyczna. Niezależnie Newton (fluksje) i Leibniz (notacja $dy/dx$) w XVII w.; spór priorytetowy. Ekonomiczna. Wielkości krańcowe: koszt krańcowy, przychód krańcowy, użyteczność krańcowa. Zobacz: Pochodne — tempo zmian.

Iloraz różnicowy

Matematyczna. $\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ — nachylenie siecznej; w granicy $h\to 0$ daje pochodną. Intuicyjna. Średnie tempo zmian na odcinku. Historyczna. Pojęcie siecznej dążącej do stycznej rozwijał Fermat (problem stycznych, XVII w.). Ekonomiczna. Średnia stopa wzrostu między dwoma okresami. Zobacz: Pochodna z definicji.

Styczna

Matematyczna. Prosta $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$; graniczne położenie siecznych. Intuicyjna. Najlepsze przybliżenie liniowe funkcji w pobliżu punktu. Historyczna. Problem stycznej (Fermat, Kartezjusz) był jednym ze źródeł rachunku różniczkowego. Ekonomiczna. Linearyzacja nieliniowego modelu wokół punktu (rozwinięcie pierwszego rzędu). Zobacz: Pochodne — styczna.

Reguła łańcuchowa

Matematyczna. $(g\circ f)'(x)=g'\big(f(x)\big)\cdot f'(x)$. Intuicyjna. Tempa zmian mnożą się jak przełożenia przekładni. Historyczna. Sformułowana przez Leibniza wraz z rozwojem rachunku różniczkowego. Ekonomiczna. Efekt łańcuchowy: zmiana stopy procentowej → inwestycje → produkcja. Zobacz: Pochodne — reguła łańcuchowa.

Ekstremum

Matematyczna. Punkt lokalnego maksimum lub minimum; warunek konieczny $f'(x_0)=0$ (twierdzenie Fermata). Intuicyjna. „Szczyt” lub „dolina” wykresu; o rodzaju rozstrzyga znak $f''$. Historyczna. Warunek zerowania pochodnej w ekstremum podał Fermat (ok. 1630). Ekonomiczna. Maksymalizacja zysku ($\pi'=0$), minimalizacja kosztu — rdzeń optymalizacji. Zobacz: Pochodne — twierdzenie Fermata.

Pochodna cząstkowa

Matematyczna. $\tfrac{\partial f}{\partial x}$ — pochodna względem jednej zmiennej przy pozostałych ustalonych. Intuicyjna. Nachylenie powierzchni wzdłuż jednej osi. Historyczna. Rozwinięta w XVIII w. (Euler, Clairaut) wraz z analizą funkcji wielu zmiennych. Ekonomiczna. Krańcowa produktywność czynnika (pracy lub kapitału) w funkcji produkcji. Zobacz: Pochodne cząstkowe.

Gradient

Matematyczna. Wektor pochodnych cząstkowych $\nabla f=\big(\tfrac{\partial f}{\partial x_1},\dots,\tfrac{\partial f}{\partial x_n}\big)$; warunek ekstremum $\nabla f=\mathbf{0}$. Intuicyjna. Wskazuje kierunek najszybszego wzrostu, prostopadły do poziomic. Historyczna. Pojęcie i symbol $\nabla$ (nabla) wprowadził Hamilton, spopularyzował Gibbs (XIX w.). Ekonomiczna. Spadek gradientowy minimalizuje sumę kwadratów reszt w estymacji modeli. Zobacz: Pochodne — gradient.

Elastyczność

Matematyczna. $\varepsilon=\dfrac{dQ}{dP}\cdot\dfrac{P}{Q}=\dfrac{d\ln Q}{d\ln P}$. Intuicyjna. „O ile procent zmieni się $Q$, gdy $P$ wzrośnie o $1\%$”. Historyczna. Pojęcie wprowadził Alfred Marshall (Principles of Economics, 1890). Ekonomiczna. Elastyczność cenowa popytu; w modelu log-liniowym współczynnik $\beta_1$ jest wprost elastycznością. Zobacz: Pochodne — elastyczność.

Całka oznaczona

Matematyczna. $\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_i f(x_i^*)\Delta x$ — granica sum Riemanna. Intuicyjna. Pole pod wykresem; suma nieskończenie wielu nieskończenie małych składników. Historyczna. Metoda wyczerpywania Archimedesa (III w. p.n.e.), ścisła definicja — Riemann (XIX w.). Ekonomiczna. Koszt całkowity z krańcowego, nadwyżka konsumenta, wartość bieżąca strumienia. Zobacz: Całki.

Funkcja pierwotna

Matematyczna. $F$ taka, że $F'(x)=f(x)$; całka nieoznaczona $\int f\,dx=F(x)+C$. Intuicyjna. Operacja odwrotna do różniczkowania; stała $C$ to dowolny poziom odniesienia. Historyczna. Związek z pochodną ujęło podstawowe twierdzenie rachunku całkowego (Newton, Leibniz). Ekonomiczna. Odtworzenie funkcji kosztu całkowitego z kosztu krańcowego. Zobacz: Całki — funkcja pierwotna.

Suma Riemanna

Matematyczna. $\sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x$ — przybliżenie pola prostokątami. Intuicyjna. Im węższe prostokąty, tym dokładniejsze przybliżenie; w granicy daje całkę. Historyczna. Sformalizowana przez Bernharda Riemanna (1854). Ekonomiczna. Numeryczne całkowanie strumieni przychodów i prawdopodobieństw. Zobacz: Całki — suma Riemanna.

Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego

Matematyczna. $A(x)=\int_a^x f$ spełnia $A'(x)=f(x)$, a $\int_a^b f=F(b)-F(a)$. Intuicyjna. Różniczkowanie i całkowanie to operacje wzajemnie odwrotne. Historyczna. Odkryte niezależnie przez Newtona i Leibniza w XVII w. Ekonomiczna. Pozwala liczyć skumulowane wielkości (koszt, NPV) bez sum Riemanna. Zobacz: Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego.

Wartość bieżąca netto (NPV)

Matematyczna. $\mathrm{NPV}=\int_0^T \pi(t)e^{-rt}\,dt$ (minus nakład początkowy); dyskretnie $\sum_t \tfrac{\pi_t}{(1+r)^t}$. Intuicyjna. Suma zdyskontowanych przyszłych przepływów; dodatnie NPV = opłacalność. Historyczna. Dyskontowanie rozwijano od Fishera (The Theory of Interest, 1930). Ekonomiczna. Podstawowe kryterium oceny projektów inwestycyjnych i wyceny aktywów. Zobacz: Całki — NPV inwestycji.

Algebra liniowa

Wektor

Matematyczna. Uporządkowana lista liczb $\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n$; długość $\|\mathbf{x}\|=\sqrt{\sum x_i^2}$. Intuicyjna. Strzałka mająca kierunek i długość. Historyczna. Rachunek wektorowy rozwinęli Hamilton i Grassmann (XIX w.). Ekonomiczna. Koszyk dóbr, wektor wag portfela, wektor cech obserwacji. Zobacz: Algebra liniowa — wektory.

Iloczyn skalarny

Matematyczna. $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\sum_i a_i b_i=\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta$. Intuicyjna. Mierzy „zgodność kierunków”; zero oznacza prostopadłość. Historyczna. Sformalizowany w rachunku wektorowym Gibbsa (XIX w.). Ekonomiczna. Wartość koszyka (ceny · ilości); kowariancja jako iloczyn skalarny odchyleń. Zobacz: Algebra liniowa — iloczyn skalarny.

Macierz

Matematyczna. Tablica liczb $m\times n$; mnożenie $c_{ij}=\sum_l a_{il}b_{lj}$, na ogół $\mathbf{AB}\ne\mathbf{BA}$. Intuicyjna. Przekształcenie liniowe przestrzeni (obrót, skalowanie, ścinanie). Historyczna. Termin wprowadził Sylvester (1850), rachunek — Cayley (1858). Ekonomiczna. Macierz danych $\mathbf{X}$ w regresji, macierz przepływów międzygałęziowych Leontiefa. Zobacz: Algebra liniowa — macierze.

Wyznacznik

Matematyczna. Dla $2\times2$: $\det\bigl(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\bigr)=ad-bc$. Intuicyjna. Skala zmiany pola/objętości; zero oznacza nieodwracalność. Historyczna. Wyznaczniki rozwijali Leibniz i Cramer (XVIII w., wzory Cramera). Ekonomiczna. Warunek jednoznacznego rozwiązania układu równań (np. równowagi rynków). Zobacz: Algebra liniowa — wyznacznik.

Macierz odwrotna

Matematyczna. $\mathbf{A}^{-1}$ spełnia $\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{I}$; istnieje, gdy $\det\mathbf{A}\ne 0$. Intuicyjna. „Cofa” przekształcenie; zerowy wyznacznik = utrata wymiaru = brak odwrotności. Historyczna. Rozwinięta wraz z rachunkiem macierzowym Cayleya. Ekonomiczna. Występuje we wzorze MNK $\hat{\boldsymbol\beta}=(\mathbf{X}^\top\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^\top\mathbf{y}$. Zobacz: Algebra liniowa — macierz odwrotna.

Wartość i wektor własny

Matematyczna. $\mathbf{A}\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$ dla niezerowego $\mathbf{v}$ (wektor własny) i liczby $\lambda$ (wartość własna). Intuicyjna. Kierunki, których przekształcenie nie obraca — jedynie skaluje. Historyczna. Pojęcie wyrosło z badań form kwadratowych (Cauchy, Hilbert, XIX/XX w.). Ekonomiczna. Analiza głównych składowych (PCA), stabilność modeli dynamicznych, ryzyko portfela. Zobacz: Algebra liniowa — wartości własne.

Rzut prostopadły

Matematyczna. Najbliższy punkt podprzestrzeni do wektora; reszta jest do niej prostopadła. Intuicyjna. „Cień” wektora na podprzestrzeń; minimalizuje odległość. Historyczna. Geometria rzutu leży u podstaw MNK Gaussa (XIX w.). Ekonomiczna. Dopasowanie regresji $\hat{\mathbf{y}}$ to rzut obserwacji $\mathbf{y}$ na przestrzeń kolumn $\mathbf{X}$. Zobacz: Algebra liniowa — rzut prostopadły.

Macierz kowariancji

Matematyczna. Symetryczna $\boldsymbol\Sigma$ z wariancjami na przekątnej i kowariancjami poza nią. Intuicyjna. Opisuje kształt i orientację chmury danych; wektory własne to kierunki największego rozrzutu. Historyczna. Pojęcie wielowymiarowe rozwinęli Pearson i Mahalanobis (przełom XIX/XX w.). Ekonomiczna. Ryzyko portfela $\sigma_p^2=\mathbf{w}^\top\boldsymbol\Sigma\mathbf{w}$ w teorii Markowitza. Zobacz: Wariancja — macierz kowariancji.

Statystyka opisowa

Średnia arytmetyczna

Matematyczna. $\bar{x}=\tfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$; suma odchyleń od średniej wynosi zero. Intuicyjna. „Punkt równowagi” danych; wrażliwa na wartości odstające. Historyczna. Pojęcie człowieka przeciętnego upowszechnił Quetelet (XIX w.). Ekonomiczna. Przeciętne wynagrodzenie, średni PKB per capita. Zobacz: Statystyka opisowa — średnia.

Mediana

Matematyczna. Wartość środkowa po uporządkowaniu danych (kwantyl rzędu $0{,}5$). Intuicyjna. Odporna na wartości odstające; dla danych skośnych uczciwsza niż średnia. Historyczna. Termin spopularyzował Galton (XIX w.). Ekonomiczna. Mediana wynagrodzeń lepiej opisuje „typowy” zarobek niż średnia. Zobacz: Statystyka opisowa — mediana.

Moda

Matematyczna. Wartość występująca najczęściej w zbiorze danych. Intuicyjna. „Najpopularniejsza” wartość; sensowna także dla danych nominalnych. Historyczna. Termin wprowadził Karl Pearson (1895). Ekonomiczna. Najczęstszy przedział cenowy, dominujący typ gospodarstwa. Zobacz: Statystyka opisowa — moda.

Kwantyl

Matematyczna. Wartość dzieląca dane w danej proporcji; kwartyle $Q_1,Q_2,Q_3$; $IQR=Q_3-Q_1$. Intuicyjna. „Gdzie leży dolne/górne 25% danych”; podstawa wykresu pudełkowego. Historyczna. Kwartyle i wykres pudełkowy spopularyzował Tukey (XX w.). Ekonomiczna. Decyle i kwintyle dochodowe w analizie nierówności. Zobacz: Statystyka opisowa — kwantyle.

Współczynnik zmienności

Matematyczna. $CV=\dfrac{s}{\bar{x}}\cdot 100\%$. Intuicyjna. Względna miara rozrzutu — porównuje zmienność wielkości o różnych jednostkach. Historyczna. Wprowadzony przez Karla Pearsona. Ekonomiczna. Porównanie zmienności cen różnych aktywów lub rynków. Zobacz: Statystyka opisowa — współczynnik zmienności.

Skośność

Matematyczna. $\gamma_1=\dfrac{\tfrac1n\sum(x_i-\bar{x})^3}{s^3}$. Intuicyjna. Miara asymetrii: $\gamma_1\gt 0$ — długi ogon w prawo. Historyczna. Momenty rozkładu sformalizował Pearson (system krzywych Pearsona). Ekonomiczna. Rozkłady dochodów i zwrotów z aktywów są typowo prawoskośne. Zobacz: Statystyka opisowa — skośność.

Kurtoza

Matematyczna. $\gamma_2=\dfrac{\tfrac1n\sum(x_i-\bar{x})^4}{s^4}-3$. Intuicyjna. „Grubość ogonów”: $\gamma_2\gt 0$ — więcej zdarzeń ekstremalnych. Historyczna. Pojęcie wprowadził Pearson (1905). Ekonomiczna. Grube ogony zwrotów finansowych — niedoszacowanie ryzyka przez model normalny. Zobacz: Statystyka opisowa — kurtoza.

Standaryzacja

Matematyczna. $z=\dfrac{x-\bar{x}}{s}$ — przekształcenie do średniej $0$ i odchylenia $1$. Intuicyjna. „O ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej”. Historyczna. Wynik $z$ i tablice rozkładu normalnego rozwinięto na przełomie XIX/XX w. Ekonomiczna. Porównywanie zmiennych o różnych jednostkach; scoring kredytowy. Zobacz: Statystyka opisowa — standaryzacja.

Wariancja

Matematyczna. $\sigma^2=\tfrac1n\sum(x_i-\bar{x})^2$ (populacja) lub $s^2=\tfrac{1}{n-1}\sum(x_i-\bar{x})^2$ (próba). Intuicyjna. Średni kwadrat odległości od średniej; kwadrat zapobiega kasowaniu odchyleń. Historyczna. Termin wprowadził Ronald Fisher (1918). Ekonomiczna. Miara ryzyka inwestycji; rdzeń analizy wariancji (ANOVA). Zobacz: Wariancja i odchylenie standardowe.

Odchylenie standardowe

Matematyczna. $\sigma=\sqrt{\sigma^2}$ — pierwiastek z wariancji. Intuicyjna. Typowa odległość obserwacji od średniej, w jednostkach danych. Historyczna. Termin i symbol $\sigma$ wprowadził Karl Pearson (1893). Ekonomiczna. Zmienność (volatility) — podstawowa miara ryzyka rynkowego. Zobacz: Wariancja i odchylenie standardowe.

Kowariancja

Matematyczna. $\mathrm{Cov}(x,y)=\tfrac1n\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$. Intuicyjna. Czy zmienne odchylają się od średnich w tę samą stronę; uogólnia wariancję. Historyczna. Wyrosła z prac Galtona i Pearsona nad współzależnością (XIX w.). Ekonomiczna. Klucz do dywersyfikacji portfela i nachylenia regresji. Zobacz: Wariancja — kowariancja.

Poprawka Bessela

Matematyczna. Dzielenie przez $n-1$ zamiast $n$ w wariancji próby (estymator nieobciążony). Intuicyjna. Próba leży bliżej własnej średniej niż prawdziwej, więc odchylenia są zaniżone. Historyczna. Nazwana od Friedricha Bessela (XIX w.). Ekonomiczna. Standard w oprogramowaniu (R var()); pomyłka $n$ vs $n-1$ to częsty błąd. Zobacz: Wariancja — populacja a próba.

Nierówność Czebyszewa

Matematyczna. $P(|X-\mu|\ge k\sigma)\le\tfrac{1}{k^2}$ dla dowolnego rozkładu o skończonej wariancji. Intuicyjna. Niezależnie od kształtu rozkładu większość masy leży blisko średniej. Historyczna. Udowodniona przez Pafnutija Czebyszewa (XIX w.). Ekonomiczna. Konserwatywne oszacowania ryzyka bez założenia normalności. Zobacz: Wariancja — nierówność Czebyszewa.

Korelacja

Matematyczna. Miara siły i kierunku liniowego związku, $r\in[-1,1]$; geometrycznie $r=\cos\theta$. Intuicyjna. $r=1$ — związek rosnący, $r=-1$ — malejący, $r=0$ — brak liniowego związku. Historyczna. Pojęcie wprowadził Galton (1888), wzór — Pearson (1896). Ekonomiczna. Współzależność aktywów — podstawa dywersyfikacji. Zobacz: Korelacja.

Współczynnik Pearsona

Matematyczna. $r=\dfrac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2}\sqrt{\sum(y_i-\bar{y})^2}}$. Intuicyjna. Kowariancja znormalizowana do $[-1,1]$; mierzy tylko związek liniowy. Historyczna. Wzór podał Karl Pearson (1896), rozwijając idee Galtona. Ekonomiczna. Standardowa miara współzależności zmiennych ekonomicznych. Zobacz: Korelacja — współczynnik Pearsona.

Korelacja a przyczynowość

Matematyczna. Korelacja $r\ne 0$ nie implikuje związku przyczynowego. Intuicyjna. Współwystępowanie może wynikać ze wspólnej trzeciej zmiennej lub z przypadku. Historyczna. Problem podnoszony od czasów Yule’a i Pearsona; rozwinięty w ekonometrii przyczynowej XX/XXI w. Ekonomiczna. Rdzeń ekonometrii przyczynowej (zmienne instrumentalne, eksperymenty). Zobacz: Korelacja a przyczynowość.

Korelacja rangowa Spearmana

Matematyczna. Współczynnik Pearsona obliczony dla rang, nie wartości. Intuicyjna. Mierzy związek monotoniczny, także nieliniowy. Historyczna. Wprowadzona przez psychologa Charlesa Spearmana (1904). Ekonomiczna. Rankingi (np. konkurencyjności krajów), dane porządkowe. Zobacz: Korelacja — Spearman.

Rachunek prawdopodobieństwa i wnioskowanie

Zmienna losowa

Matematyczna. Funkcja przypisująca liczbę wynikowi doświadczenia losowego; dyskretna lub ciągła. Intuicyjna. „Liczbowy wynik losowego zjawiska”. Historyczna. Ścisłą podstawę dała aksjomatyka Kołmogorowa (1933). Ekonomiczna. Stopa zwrotu, popyt, liczba transakcji jako wielkości losowe. Zobacz: Rozkłady prawdopodobieństwa.

Funkcja gęstości (PDF)

Matematyczna. $f(x)\ge 0$, $\int_{-\infty}^{\infty}f=1$; $P(a\le X\le b)=\int_a^b f$. Intuicyjna. Prawdopodobieństwo to pole pod krzywą; pojedyncza wartość ma prawdopodobieństwo zero. Historyczna. Pojęcie gęstości ciągłej rozwinięto w XVIII–XIX w. (Laplace, Gauss). Ekonomiczna. Modelowanie rozkładu stóp zwrotu, dochodów, czasów oczekiwania. Zobacz: Rozkłady — gęstość.

Dystrybuanta (CDF)

Matematyczna. $F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^x f$; zachodzi $F'(x)=f(x)$. Intuicyjna. Skumulowane prawdopodobieństwo, rosnące od $0$ do $1$. Historyczna. Pojęcie utrwalone w XX-wiecznej teorii prawdopodobieństwa. Ekonomiczna. Prawdopodobieństwo, że strata nie przekroczy progu (podstawa VaR). Zobacz: Rozkłady — dystrybuanta.

Rozkład normalny

Matematyczna. $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ o gęstości $\tfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}$. Intuicyjna. Krzywa dzwonowa; opisana przez $\mu$ i $\sigma$. Historyczna. de Moivre (1733), Laplace, Gauss (1809, prawo błędów); Quetelet w naukach społecznych. Ekonomiczna. Założenie wielu modeli; rozkład błędów i (asymptotyczny) estymatorów. Zobacz: Rozkład normalny.

Reguła 68-95-99,7

Matematyczna. W $\mu\pm\sigma$, $\mu\pm2\sigma$, $\mu\pm3\sigma$ leży $68{,}3\%$, $95{,}4\%$, $99{,}7\%$ masy. Intuicyjna. Szybka ocena, które wartości są typowe, a które rzadkie. Historyczna. Wynika z całki gęstości normalnej, stablicowanej w XIX w. Ekonomiczna. Kontrola jakości (granice $\pm3\sigma$, Six Sigma), zarządzanie ryzykiem. Zobacz: Rozkład normalny — reguła 68-95-99,7.

Wartość krytyczna

Matematyczna. Wartość odcinająca zadany odsetek masy w ogonie (np. $1{,}96$ dla $95\%$ rozkładu $\mathcal{N}(0,1)$). Intuicyjna. Granica obszaru odrzucenia hipotezy. Historyczna. Tablice wartości krytycznych rozwinął Fisher (XX w.). Ekonomiczna. Próg decyzji w testach istotności współczynników modelu. Zobacz: Rozkłady — wartości krytyczne.

Odległość Mahalanobisa

Matematyczna. $(\mathbf{x}-\boldsymbol\mu)^\top\boldsymbol\Sigma^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol\mu)$. Intuicyjna. „Odległość w odchyleniach standardowych” uwzględniająca kowariancję; warstwy to elipsy. Historyczna. Wprowadzona przez Prasanta Mahalanobisa (1936). Ekonomiczna. Wykrywanie obserwacji nietypowych (outlierów) w danych wielowymiarowych. Zobacz: Rozkład normalny — poziomice.

Rozkład t-Studenta

Matematyczna. Rozkład $\tfrac{\bar{X}-\mu}{s/\sqrt{n}}\sim t_{n-1}$ przy szacowanej wariancji; grubsze ogony niż normalny. Intuicyjna. „Ostrożniejszy” normalny — uwzględnia niepewność oceny $\sigma$. Historyczna. Wprowadzony przez Williama Gosseta pod pseudonimem „Student” (1908). Ekonomiczna. Test istotności współczynnika regresji w małych próbach. Zobacz: Rozkłady — t-Studenta.

Rozkład chi-kwadrat

Matematyczna. $\chi^2_k=Z_1^2+\dots+Z_k^2$, suma kwadratów $k$ zmiennych $\mathcal{N}(0,1)$; $E[\chi^2_k]=k$. Intuicyjna. „Skumulowany kwadrat odchyleń”; nieujemny i prawoskośny. Historyczna. Wprowadzony przez Karla Pearsona (test zgodności, 1900). Ekonomiczna. Test niezależności zmiennych kategorycznych, test wariancji. Zobacz: Rozkłady — chi-kwadrat.

Rozkład F-Snedecora

Matematyczna. $F=\dfrac{\chi^2_{k_1}/k_1}{\chi^2_{k_2}/k_2}$ — iloraz znormalizowanych zmiennych chi-kwadrat. Intuicyjna. Porównuje dwie wariancje; nieujemny i prawoskośny. Historyczna. Nazwany od Fishera i Snedecora (lata 30. XX w.). Ekonomiczna. Test łącznej istotności współczynników regresji. Zobacz: Rozkłady — F-Snedecora.

Stopnie swobody

Matematyczna. Liczba niezależnych elementów informacji po nałożeniu więzów (np. $n-1$ przy estymacji średniej). Intuicyjna. Wymiar podprzestrzeni, w której „swobodnie” zmieniają się reszty. Historyczna. Pojęcie wprowadził Fisher (lata 20. XX w.). Ekonomiczna. Korekta na liczbę szacowanych parametrów w testach modelu. Zobacz: Rozkłady — stopnie swobody.

Centralne twierdzenie graniczne

Matematyczna. $\bar{X}_n\to\mathcal{N}\big(\mu,\tfrac{\sigma^2}{n}\big)$, niezależnie od rozkładu populacji. Intuicyjna. Suma wielu drobnych, niezależnych wpływów daje rozkład normalny. Historyczna. de Moivre-Laplace (XVIII/XIX w.), uogólnienia Lapunowa, Lindeberga i Lévy’ego (XX w.). Ekonomiczna. Uzasadnia normalność estymatorów MNK i margines błędu sondaży. Zobacz: Centralne twierdzenie graniczne.

Prawo wielkich liczb

Matematyczna. $\bar{X}_n\to\mu$ wraz ze wzrostem liczebności próby. Intuicyjna. Uśrednianie „działa”: większa próba daje dokładniejszą ocenę średniej. Historyczna. Udowodnione przez Jakoba Bernoulliego (Ars Conjectandi, 1713). Ekonomiczna. Podstawa ubezpieczeń i prawa wielkich liczb w aktuariacie. Zobacz: Prawo wielkich liczb.

Błąd standardowy

Matematyczna. Odchylenie standardowe estymatora; dla średniej $\mathrm{SE}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Intuicyjna. Maleje jak $1/\sqrt{n}$ — by zmniejszyć błąd o połowę, trzeba czterokrotnej próby. Historyczna. Pojęcie utrwalone wraz z teorią estymacji Fishera. Ekonomiczna. Precyzja oszacowania współczynnika; podstawa testów i przedziałów. Zobacz: CTG — błąd standardowy.

Margines błędu

Matematyczna. Połowa szerokości przedziału ufności; dla proporcji $\mathrm{MoE}=z_{\alpha/2}\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}$. Intuicyjna. „$\pm$ ile” w sondażach; maleje z pierwiastkiem liczebności próby. Historyczna. Rozwinięty wraz z teorią prób reprezentacyjnych (XX w.). Ekonomiczna. Standardowe „$\pm3$ pkt proc.” w komunikatach sondażowych. Zobacz: CTG — sondaż i margines błędu.

Przedział ufności

Matematyczna. $\hat\theta\pm z_{\alpha/2}\cdot\mathrm{SE}$ — przedział pokrywający parametr z zadanym prawdopodobieństwem. Intuicyjna. Zakres wiarygodnych wartości parametru, nie pojedyncza ocena. Historyczna. Koncepcję wprowadził Jerzy Spława-Neyman (1937) — polski statystyk światowej rangi. Ekonomiczna. Przedział dla prognozy, elastyczności czy efektu polityki gospodarczej. Zobacz: Przedziały ufności.

Ekonometria — teoria estymacji

Estymator

Matematyczna. Funkcja próby $\hat{\theta}=g(X_1,\dots,X_n)$ służąca do oceny nieznanego parametru $\theta$. Intuicyjna. „Przepis” na wyliczenie oceny parametru z danych; estymata to konkretna liczba z tego przepisu. Historyczna. Teorię estymacji ugruntował Ronald Fisher (lata 20. XX w.). Ekonomiczna. $\hat{\beta}_1=0{,}55$ jako ocena krańcowej skłonności do konsumpcji w funkcji konsumpcji. Zobacz: Regresja liniowa.

Obciążenie (bias)

Matematyczna. $\mathrm{Bias}(\hat{\theta})=\mathbb{E}[\hat{\theta}]-\theta$; estymator jest nieobciążony, gdy $\mathbb{E}[\hat{\theta}]=\theta$. Intuicyjna. Systematyczny błąd „w jedną stronę”, nieznikający przy uśrednianiu wielu prób. Historyczna. Pojęcie obciążenia i poprawki (np. Bessela) rozwinięto w XIX–XX w. Ekonomiczna. Pominięcie istotnej zmiennej obciąża oszacowanie $\hat{\beta}$ (obciążenie zmiennej pominiętej). Zobacz: Wariancja — poprawka Bessela.

Estymator nieobciążony

Matematyczna. $\mathbb{E}[\hat{\theta}]=\theta$ dla każdej wielkości próby. Intuicyjna. Przeciętnie po wielu próbach trafia w prawdziwą wartość. Historyczna. Kryterium nieobciążoności jest klasycznym wymogiem teorii estymacji Fishera. Ekonomiczna. Estymator MNK jest nieobciążony przy egzogeniczności składnika losowego. Zobacz: Regresja liniowa — Gauss-Markow.

Efektywność

Matematyczna. Estymator efektywny ma najmniejszą wariancję w danej klasie; dolną granicę wyznacza nierówność Craméra-Rao $\mathrm{Var}(\hat\theta)\ge 1/I(\theta)$. Intuicyjna. „Najprecyzyjniejszy” estymator — najmniej rozrzucony wokół prawdy. Historyczna. Granicę precyzji podali Cramér i Rao (lata 40. XX w.). Ekonomiczna. Estymator MNK jest najefektywniejszym estymatorem liniowym nieobciążonym (BLUE). Zobacz: Regresja liniowa.

Zgodność (consistency)

Matematyczna. $\hat{\theta}_n\xrightarrow{p}\theta$, czyli $\mathrm{plim}\,\hat{\theta}_n=\theta$ przy $n\to\infty$. Intuicyjna. Im większa próba, tym ocena bliższa prawdy (zbiega według prawdopodobieństwa). Historyczna. Pojęcie powiązane z prawem wielkich liczb (Bernoulli, XVIII w.). Ekonomiczna. Estymator zgodny daje wiarygodne wyniki w dużych zbiorach danych panelowych. Zobacz: Prawo wielkich liczb.

Błąd średniokwadratowy (MSE)

Matematyczna. $\mathrm{MSE}(\hat\theta)=\mathbb{E}[(\hat\theta-\theta)^2]=\mathrm{Bias}^2+\mathrm{Var}$. Intuicyjna. Łączy systematyczny błąd (obciążenie) i rozrzut (wariancję) w jednej liczbie. Historyczna. Rozkład MSE na obciążenie i wariancję to klasyczny wynik teorii estymacji. Ekonomiczna. Dla $\mathrm{Bias}=0{,}1$ i $\mathrm{Var}=0{,}04$: $\mathrm{MSE}=0{,}01+0{,}04=0{,}05$ — kompromis precyzja–trafność. Zobacz: Wariancja i odchylenie standardowe.

Asymptotyczna normalność

Matematyczna. $\sqrt{n}(\hat{\theta}_n-\theta)\xrightarrow{d}\mathcal{N}(0,V)$. Intuicyjna. W dużych próbach rozkład estymatora jest w przybliżeniu normalny — stąd testy i przedziały. Historyczna. Wynika z centralnego twierdzenia granicznego. Ekonomiczna. Pozwala testować istotność współczynników nawet bez normalności błędów. Zobacz: Centralne twierdzenie graniczne.

Ekonometria — metody estymacji

Metoda najmniejszych kwadratów (MNK / OLS)

Matematyczna. Minimalizacja $\sum (y_i-\hat{y}_i)^2$; rozwiązanie $\hat{\boldsymbol\beta}=(\mathbf{X}^\top\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^\top\mathbf{y}$. Intuicyjna. Prosta „przez środek” chmury punktów, minimalizująca sumę kwadratów reszt. Historyczna. Legendre (1805) i Gauss (1809); spór priorytetowy. Ekonomiczna. Podstawowa metoda szacowania modeli regresyjnych w ekonomii. Zobacz: Metoda najmniejszych kwadratów.

Klasyczna MNK (KMNK)

Matematyczna. MNK przy założeniach klasycznego modelu (liniowość, pełny rząd $\mathbf{X}$, egzogeniczność, sferyczność $\mathrm{Var}(\boldsymbol\varepsilon)=\sigma^2\mathbf{I}$). Intuicyjna. „Podręcznikowa” regresja, w której spełnione są wszystkie założenia. Historyczna. Zestaw założeń ujęto w twierdzeniu Gaussa-Markowa. Ekonomiczna. Punkt wyjścia, od którego diagnozuje się odstępstwa (heteroskedastyczność, autokorelacja). Zobacz: Regresja liniowa — założenia KMRL.

Uogólniona MNK (UMNK / GLS)

Matematyczna. Dla $\mathrm{Var}(\boldsymbol\varepsilon)=\sigma^2\boldsymbol\Omega$: $\hat{\boldsymbol\beta}_{GLS}=(\mathbf{X}^\top\boldsymbol\Omega^{-1}\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^\top\boldsymbol\Omega^{-1}\mathbf{y}$. Intuicyjna. „Ważona” regresja korygująca niesferyczność błędów. Historyczna. Uogólnienie podał Aitken (1935). Ekonomiczna. Stosowana przy heteroskedastyczności lub autokorelacji składnika losowego. Zobacz: Heteroskedastyczność.

Ważona MNK (WMNK / WLS)

Matematyczna. Minimalizacja $\sum w_i(y_i-\hat{y}_i)^2$ z wagami $w_i=1/\sigma_i^2$. Intuicyjna. Obserwacje o mniejszej wariancji ważą więcej. Historyczna. Szczególny przypadek GLS dla diagonalnej $\boldsymbol\Omega$. Ekonomiczna. Korekta heteroskedastyczności, gdy znamy strukturę wariancji. Zobacz: Heteroskedastyczność.

Metoda największej wiarygodności (MNW / MLE)

Matematyczna. $\hat{\theta}=\arg\max_\theta L(\theta)=\arg\max_\theta\prod_i f(x_i;\theta)$. Intuicyjna. Wybiera parametry, przy których zaobserwowane dane są najbardziej prawdopodobne. Historyczna. Metodę rozwinął Ronald Fisher (1922). Ekonomiczna. Podstawa estymacji modeli nieliniowych: logit, probit, modele wyboru. Zobacz: Modele logit i probit.

Funkcja wiarygodności

Matematyczna. $L(\theta)=\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)$; częściej maksymalizuje się $\ell(\theta)=\ln L(\theta)$. Intuicyjna. Mierzy, jak „prawdopodobne” są dane przy danej wartości parametru. Historyczna. Pojęcie wiarygodności (likelihood) wprowadził Fisher. Ekonomiczna. Logarytm wiarygodności wchodzi do kryteriów AIC/BIC wyboru modelu. Zobacz: Rozkłady prawdopodobieństwa.

Zmienne instrumentalne (IV)

Matematyczna. Instrument $Z$ spełnia $\mathrm{Cov}(Z,\varepsilon)=0$ i $\mathrm{Cov}(Z,X)\ne 0$; estymator $\hat{\beta}_{IV}=\tfrac{\mathrm{Cov}(Z,Y)}{\mathrm{Cov}(Z,X)}$. Intuicyjna. „Zastępcza” zmienna, która porusza $X$, lecz nie wpływa wprost na $Y$. Historyczna. Metodę przypisuje się Wrightowi (lata 20. XX w.). Ekonomiczna. Leczy endogeniczność (np. zmienne pominięte, błąd pomiaru). Zobacz: Zmienne instrumentalne.

Podwójna MNK (2SLS)

Matematyczna. Etap 1: regresja $X$ na instrumenty $\Rightarrow\hat{X}$. Etap 2: regresja $Y$ na $\hat{X}$. Intuicyjna. Najpierw „oczyszczamy” $X$ z endogenicznej części, potem szacujemy regresję. Historyczna. Rozwinięta w latach 50. XX w. (Theil, Basmann). Ekonomiczna. Standardowa realizacja estymacji IV przy wielu instrumentach. Zobacz: Zmienne instrumentalne.

Uogólniona metoda momentów (GMM)

Matematyczna. Minimalizacja $\bar{g}(\theta)^\top\mathbf{W}\bar{g}(\theta)$, gdzie $\bar{g}$ to próbkowe warunki momentów $\mathbb{E}[g(\cdot,\theta)]=0$. Intuicyjna. Dopasowuje parametry tak, by spełnić (w przybliżeniu) warunki teoretyczne na momenty. Historyczna. Wprowadzona przez Larsa Petera Hansena (1982, Nobel 2013). Ekonomiczna. Estymacja modeli dynamicznych i panelowych (np. Arellano-Bond). Zobacz: Dane panelowe.

Równania normalne

Matematyczna. $\mathbf{X}^\top\mathbf{X}\,\hat{\boldsymbol\beta}=\mathbf{X}^\top\mathbf{y}$ — warunek pierwszego rzędu MNK. Intuicyjna. Wyrażają prostopadłość reszt do zmiennych objaśniających, $\mathbf{X}^\top\hat{\boldsymbol\varepsilon}=\mathbf{0}$. Historyczna. Wynikają wprost z minimalizacji sumy kwadratów (Gauss). Ekonomiczna. Z nich wyprowadza się wzory na estymatory współczynników regresji. Zobacz: Regresja liniowa.

Ekonometria — model i jego założenia

Model ekonometryczny

Matematyczna. Równanie (lub układ) wiążące zmienną objaśnianą ze zmiennymi objaśniającymi i składnikiem losowym: $Y=f(\mathbf{X};\boldsymbol\beta)+\varepsilon$. Intuicyjna. Uproszczony, ilościowy opis mechanizmu ekonomicznego nadający się do estymacji. Historyczna. Pojęcie ukształtowane wraz z ekonometrią (Frisch, Tinbergen, lata 30.). Ekonomiczna. Funkcja konsumpcji, popytu, produkcji — wszystkie są modelami ekonometrycznymi. Zobacz: Czym jest ekonometria.

Zmienna objaśniana (endogeniczna)

Matematyczna. Zmienna $Y$ po lewej stronie równania, wyjaśniana przez model. Intuicyjna. „Skutek”, którego zachowanie chcemy zrozumieć i prognozować. Historyczna. Rozróżnienie endo-/egzogeniczności wprowadzono w modelach wielorównaniowych (Koopmans, lata 40.). Ekonomiczna. PKB, konsumpcja, inflacja — typowe zmienne objaśniane. Zobacz: Regresja liniowa.

Zmienna objaśniająca (egzogeniczna)

Matematyczna. Zmienna $X_j$ po prawej stronie równania; egzogeniczna, gdy $\mathrm{Cov}(X_j,\varepsilon)=0$. Intuicyjna. „Przyczyna” lub czynnik, który ma tłumaczyć zmienność $Y$. Historyczna. Pojęcie egzogeniczności precyzowano w pracach Engle’a, Hendry’ego, Richarda (1983). Ekonomiczna. Dochód jako zmienna objaśniająca konsumpcję. Zobacz: Regresja liniowa.

Składnik losowy

Matematyczna. Element $\varepsilon_i$ modelu; przy KMRL $\mathbb{E}[\varepsilon\mid\mathbf{X}]=0$, $\mathrm{Var}=\sigma^2$. Intuicyjna. Obejmuje wszystko, czego model nie ujmuje: pominięte czynniki, błędy pomiaru, losowość. Historyczna. Probabilistyczne ujęcie błędu pochodzi od Gaussa (prawo błędów). Ekonomiczna. Odróżnia model deterministyczny od ekonometrycznego — gospodarka jest losowa. Zobacz: Regresja liniowa.

Reszty

Matematyczna. $e_i=y_i-\hat{y}_i$ — różnica między obserwacją a wartością dopasowaną (próbkowy odpowiednik $\varepsilon_i$). Intuicyjna. „Pomyłka” modelu na każdej obserwacji; ich analiza to podstawa diagnostyki. Historyczna. Analiza reszt rozwinęła się wraz z diagnostyką regresji (XX w.). Ekonomiczna. Dla danych $\hat{y}=2{,}2+0{,}6x$ reszty to $-0{,}8;0{,}6;0{,}8;-0{,}6;-0{,}2$. Zobacz: Regresja liniowa — reszty.

Homoskedastyczność

Matematyczna. Stała wariancja składnika losowego: $\mathrm{Var}(\varepsilon_i)=\sigma^2$ dla wszystkich $i$. Intuicyjna. Rozrzut błędów jednakowy w całym zakresie danych. Historyczna. Założenie klasycznego modelu Gaussa-Markowa. Ekonomiczna. Często nierealne dla danych przekrojowych (wydatki rosną z dochodem). Zobacz: Heteroskedastyczność.

Endogeniczność

Matematyczna. $\mathrm{Cov}(X_j,\varepsilon)\ne 0$ — zmienna objaśniająca skorelowana z błędem. Intuicyjna. „Zanieczyszczona” zmienna objaśniająca prowadzi do obciążonych ocen. Historyczna. Problem rozpoznany w modelach popytu/podaży (Working 1927). Ekonomiczna. Źródła: zmienne pominięte, jednoczesność, błąd pomiaru; leczona przez IV. Zobacz: Zmienne instrumentalne.

Współliniowość (multikolinearność)

Matematyczna. Silna korelacja zmiennych objaśniających; mierzona $\mathrm{VIF}_j=\tfrac{1}{1-R_j^2}$. Intuicyjna. Zmienne „mówią to samo”, więc trudno rozdzielić ich wpływy — rosną błędy standardowe. Historyczna. Termin spopularyzował Ragnar Frisch. Ekonomiczna. Dla $R_j^2=0{,}9$ mamy $\mathrm{VIF}=10$ — typowy próg ostrzegawczy. Zobacz: Regresja liniowa — typowe błędy.

Obciążenie zmiennej pominiętej

Matematyczna. Pominięcie $Z$ skorelowanej z $X$ i $Y$ obciąża $\hat\beta$ o $\beta_Z\cdot\tfrac{\mathrm{Cov}(X,Z)}{\mathrm{Var}(X)}$. Intuicyjna. Brakująca zmienna „przelewa” swój wpływ na uwzględnione zmienne. Historyczna. Klasyczny problem specyfikacji modelu. Ekonomiczna. Pominięcie zdolności w regresji płac na wykształcenie zawyża zwrot z edukacji. Zobacz: Korelacja a przyczynowość.

Ekonometria — testy statystyczne

Hipoteza zerowa i alternatywna

Matematyczna. $H_0$ (np. $\beta_j=0$) kontra $H_1$ (np. $\beta_j\ne 0$); decyzję podejmujemy na podstawie statystyki testowej. Intuicyjna. $H_0$ to „brak efektu”, którą odrzucamy tylko przy mocnych dowodach. Historyczna. Schemat testowania sformalizowali Jerzy Spława-Neyman i Egon Pearson (1933). Ekonomiczna. „Czy zmienna ma istotny wpływ?” to test $H_0:\beta_j=0$. Zobacz: Testy hipotez.

Poziom istotności i p-wartość

Matematyczna. $\alpha$ to dopuszczalne prawdopodobieństwo błędu I rodzaju; p-wartość to $P(\text{wynik tak skrajny}\mid H_0)$. Odrzucamy $H_0$, gdy p $\lt\alpha$. Intuicyjna. Mała p-wartość = dane mało prawdopodobne przy $H_0$ = dowód przeciw $H_0$. Historyczna. P-wartość spopularyzował Fisher; poziom $\alpha$ — Neyman i Pearson. Ekonomiczna. Standard $\alpha=0{,}05$; współczynnik istotny, gdy p $\lt 0{,}05$. Zobacz: p-wartość.

Błąd I i II rodzaju

Matematyczna. Błąd I: odrzucenie prawdziwej $H_0$ (prawdop. $\alpha$). Błąd II: nieodrzucenie fałszywej $H_0$ (prawdop. $\beta$). Moc $=1-\beta$. Intuicyjna. „Fałszywy alarm” kontra „przeoczenie”; zmniejszenie jednego zwiększa drugi. Historyczna. Rozróżnienie wprowadzili Neyman i Pearson (1933). Ekonomiczna. Uznanie nieskutecznej polityki za skuteczną (I) lub odwrotnie (II). Zobacz: Testy hipotez.

Test t istotności

Matematyczna. $t=\hat\beta_j/\mathrm{SE}(\hat\beta_j)\sim t_{n-k-1}$ przy $H_0:\beta_j=0$. Intuicyjna. Ile błędów standardowych dzieli ocenę od zera; daleko od zera = istotna. Historyczna. Oparty na rozkładzie t Gosseta (1908). Ekonomiczna. Dla $\hat\beta_1=0{,}6$, $\mathrm{SE}=0{,}283$: $t=2{,}12$. Zobacz: Testy hipotez.

Test F łącznej istotności

Matematyczna. $F=\dfrac{(\mathrm{RSS}_R-\mathrm{RSS}_{UR})/q}{\mathrm{RSS}_{UR}/(n-k-1)}\sim F_{q,\,n-k-1}$. Intuicyjna. Porównuje model z ograniczeniami i bez nich; bada wiele współczynników naraz. Historyczna. Oparty na rozkładzie F Fishera-Snedecora. Ekonomiczna. Test $H_0:\beta_1=\dots=\beta_k=0$ — czy model w ogóle coś wyjaśnia. Zobacz: Testy hipotez.

Test White'a

Matematyczna. Regresja kwadratów reszt na zmienne, ich kwadraty i iloczyny; statystyka $nR^2\sim\chi^2$. Intuicyjna. Sprawdza, czy wariancja błędu zależy od zmiennych objaśniających. Historyczna. Zaproponowany przez Halberta White’a (1980). Ekonomiczna. Standardowy test heteroskedastyczności bez założeń o jej formie. Zobacz: Heteroskedastyczność.

Test Breuscha-Pagana

Matematyczna. Regresja kwadratów reszt na zmienne objaśniające; statystyka LM $=nR^2\sim\chi^2_k$. Intuicyjna. Bada, czy rozrzut błędów rośnie wraz ze zmiennymi — prostszy niż test White’a. Historyczna. Breusch i Pagan (1979). Ekonomiczna. Wykrywanie heteroskedastyczności w danych przekrojowych. Zobacz: Heteroskedastyczność.

Test Durbina-Watsona

Matematyczna. $d=\dfrac{\sum_{t=2}^n (e_t-e_{t-1})^2}{\sum_{t=1}^n e_t^2}\approx 2(1-\hat\rho)$, $d\in[0,4]$. Intuicyjna. $d\approx 2$ — brak autokorelacji; $d\lt 2$ — dodatnia, $d\gt 2$ — ujemna. Historyczna. Durbin i Watson (1950–51). Ekonomiczna. Dla $\hat\rho=0{,}3$: $d\approx 1{,}4$ — sygnał dodatniej autokorelacji. Zobacz: Autokorelacja.

Test Breuscha-Godfreya

Matematyczna. Regresja reszt na zmienne i opóźnione reszty $e_{t-1},\dots,e_{t-p}$; $nR^2\sim\chi^2_p$. Intuicyjna. Ogólniejszy niż Durbina-Watsona — wykrywa autokorelację wyższych rzędów. Historyczna. Breusch (1978) i Godfrey (1978). Ekonomiczna. Diagnostyka autokorelacji w modelach z opóźnioną zmienną zależną. Zobacz: Autokorelacja.

Test Jarque-Bera

Matematyczna. $JB=\tfrac{n}{6}\big(S^2+\tfrac{(K-3)^2}{4}\big)\sim\chi^2_2$ przy $H_0$ normalności. Intuicyjna. Łączy skośność $S$ i kurtozę $K$ w jeden test normalności reszt. Historyczna. Jarque i Bera (1980). Ekonomiczna. Wartość krytyczna $\chi^2_{0{,}95;2}=5{,}99$; $JB\gt 5{,}99$ odrzuca normalność. Zobacz: Rozkład normalny.

Test RESET Ramseya

Matematyczna. Dodanie potęg wartości dopasowanych $\hat{y}^2,\hat{y}^3$ do modelu i test ich istotności. Intuicyjna. Sprawdza, czy pominięto nieliniowość lub złą postać funkcyjną. Historyczna. James Ramsey (1969). Ekonomiczna. Diagnoza błędnej specyfikacji (np. brak członu kwadratowego). Zobacz: Regresja liniowa — typowe błędy.

Test Chowa

Matematyczna. Test F porównujący model na całej próbie z modelami na podpróbach (stabilność parametrów). Intuicyjna. Czy zależność jest taka sama w dwóch okresach/grupach. Historyczna. Gregory Chow (1960). Ekonomiczna. Wykrywanie zmiany strukturalnej (np. przed i po reformie). Zobacz: Testy hipotez.

Test Hausmana

Matematyczna. $H=(\hat\beta_1-\hat\beta_2)^\top[\mathrm{Var}(\hat\beta_1)-\mathrm{Var}(\hat\beta_2)]^{-1}(\hat\beta_1-\hat\beta_2)\sim\chi^2$. Intuicyjna. Porównuje dwa estymatory; istotna różnica zdradza problem (np. endogeniczność). Historyczna. Jerry Hausman (1978). Ekonomiczna. Wybór między efektami stałymi a losowymi w danych panelowych. Zobacz: Dane panelowe.

Test Dickeya-Fullera (ADF)

Matematyczna. Regresja $\Delta y_t=\gamma y_{t-1}+\dots+u_t$; $H_0:\gamma=0$ (pierwiastek jednostkowy) z niestandardowymi wartościami krytycznymi. Intuicyjna. Sprawdza, czy szereg jest niestacjonarny (ma trend stochastyczny). Historyczna. Dickey i Fuller (1979), wersja rozszerzona (ADF) uwzględnia opóźnienia. Ekonomiczna. Test stacjonarności PKB, cen, kursów przed budową modelu. Zobacz: Szeregi czasowe.

Ekonometria — wybór i ocena modelu

Współczynnik determinacji R²

Matematyczna. $R^2=\tfrac{\mathrm{ESS}}{\mathrm{TSS}}=1-\tfrac{\mathrm{RSS}}{\mathrm{TSS}}\in[0,1]$. Intuicyjna. Udział zmienności $Y$ wyjaśniony przez model. Historyczna. Powiązany z korelacją Pearsona ($R^2=r^2$ dla regresji prostej). Ekonomiczna. $R^2=0{,}996$ w funkcji konsumpcji — dochód wyjaśnia niemal całą zmienność. Zobacz: Współczynnik R².

Skorygowany R²

Matematyczna. $\bar{R}^2=1-(1-R^2)\tfrac{n-1}{n-k-1}$. Intuicyjna. „Karze” za dodawanie zmiennych, które nie poprawiają modelu. Historyczna. Korekta przypisywana Theilowi (1961). Ekonomiczna. Uczciwsze porównywanie modeli o różnej liczbie zmiennych. Zobacz: Współczynnik R².

Kryterium informacyjne Akaikego (AIC)

Matematyczna. $\mathrm{AIC}=2k-2\ln\hat{L}$; wybieramy model o najmniejszym AIC. Intuicyjna. Równoważy dopasowanie (wiarygodność) z liczbą parametrów. Historyczna. Hirotugu Akaike (1973), oparte na teorii informacji. Ekonomiczna. Dla $k=3$, $\ln\hat{L}=-120$: $\mathrm{AIC}=6+240=246$. Zobacz: Czym jest ekonometria.

Kryterium bayesowskie Schwarza (BIC)

Matematyczna. $\mathrm{BIC}=k\ln n-2\ln\hat{L}$; mocniej karze złożoność niż AIC. Intuicyjna. Przy dużych próbach preferuje modele oszczędniejsze niż AIC. Historyczna. Gideon Schwarz (1978). Ekonomiczna. Dla $k=3$, $n=100$, $\ln\hat{L}=-120$: $\mathrm{BIC}=3\cdot 4{,}605+240\approx 253{,}8$. Zobacz: Czym jest ekonometria.

Ekonometria — szeregi czasowe

Stacjonarność

Matematyczna. Szereg słabo stacjonarny ma stałe $\mathbb{E}[y_t]=\mu$, $\mathrm{Var}(y_t)=\sigma^2$ i $\mathrm{Cov}(y_t,y_{t-h})$ zależną tylko od $h$. Intuicyjna. Własności statystyczne nie zmieniają się w czasie. Historyczna. Pojęcie z teorii procesów stochastycznych (Chinczin, Wold, lata 30.). Ekonomiczna. Warunek poprawnej estymacji modeli szeregów; brak grozi regresją pozorną. Zobacz: Szeregi czasowe.

Pierwiastek jednostkowy

Matematyczna. W modelu $y_t=\rho y_{t-1}+u_t$ pierwiastek jednostkowy to $\rho=1$ (błądzenie losowe). Intuicyjna. Szok ma trwały efekt; szereg „dryfuje” bez powrotu do średniej. Historyczna. Badany od testów Dickeya-Fullera (1979). Ekonomiczna. Wiele szeregów makro (PKB, ceny) ma pierwiastek jednostkowy — są I(1). Zobacz: Szeregi czasowe.

Biały szum

Matematyczna. Proces $\varepsilon_t$ o $\mathbb{E}[\varepsilon_t]=0$, $\mathrm{Var}=\sigma^2$, $\mathrm{Cov}(\varepsilon_t,\varepsilon_s)=0$ dla $t\ne s$. Intuicyjna. „Czysta losowość” bez pamięci — wzorzec, do którego sprowadza się reszty. Historyczna. Termin z teorii sygnałów, przeniesiony do ekonometrii szeregów. Ekonomiczna. Dobry model zostawia reszty będące białym szumem. Zobacz: Szeregi czasowe.

Proces autoregresyjny (AR)

Matematyczna. $y_t=c+\phi_1 y_{t-1}+\dots+\phi_p y_{t-p}+\varepsilon_t$. Intuicyjna. Bieżąca wartość zależy od własnych wartości przeszłych. Historyczna. Wprowadzony przez Yule’a (1927) i Walkera. Ekonomiczna. Modelowanie inercji inflacji, bezrobocia, stóp procentowych. Zobacz: Szeregi czasowe.

Proces średniej ruchomej (MA)

Matematyczna. $y_t=\mu+\varepsilon_t+\theta_1\varepsilon_{t-1}+\dots+\theta_q\varepsilon_{t-q}$. Intuicyjna. Bieżąca wartość to ważona suma bieżącego i przeszłych szoków. Historyczna. Element metodologii Boxa-Jenkinsa (1970). Ekonomiczna. Modelowanie krótkotrwałych efektów szoków popytowych. Zobacz: Szeregi czasowe.

Model ARIMA

Matematyczna. ARIMA($p,d,q$): AR rzędu $p$, $d$-krotne różnicowanie, MA rzędu $q$. Intuicyjna. Łączy autoregresję, różnicowanie (dla stacjonarności) i średnią ruchomą. Historyczna. Metodologia Boxa i Jenkinsa (1970). Ekonomiczna. Klasyczne narzędzie prognozowania szeregów ekonomicznych. Zobacz: Szeregi czasowe.

Model wektorowej autoregresji (VAR)

Matematyczna. $\mathbf{y}_t=\mathbf{c}+\mathbf{A}_1\mathbf{y}_{t-1}+\dots+\mathbf{A}_p\mathbf{y}_{t-p}+\boldsymbol\varepsilon_t$ dla wektora zmiennych. Intuicyjna. Wiele zmiennych objaśnia się nawzajem swoimi opóźnieniami — bez podziału na endo/egzo. Historyczna. Christopher Sims (1980, Nobel 2011). Ekonomiczna. Analiza polityki pieniężnej: PKB, inflacja, stopa procentowa łącznie. Zobacz: Modele VAR.

Kointegracja

Matematyczna. Zmienne $I(1)$ są skointegrowane, gdy istnieje kombinacja liniowa $\beta^\top\mathbf{y}_t$ będąca $I(0)$. Intuicyjna. Dwa „dryfujące” szeregi związane długookresową relacją równowagi. Historyczna. Engle i Granger (1987, Nobel 2003). Ekonomiczna. Długookresowy związek konsumpcji i dochodu, cen na powiązanych rynkach. Zobacz: Szeregi czasowe.

Model korekty błędem (VECM / ECM)

Matematyczna. $\Delta y_t=\alpha(\beta^\top\mathbf{y}_{t-1})+\dots+\varepsilon_t$, gdzie $\alpha$ to tempo powrotu do równowagi. Intuicyjna. Łączy krótkookresową dynamikę z długookresową relacją kointegrującą. Historyczna. Sargan (1964), spopularyzowany przez Engle’a i Grangera. Ekonomiczna. Korekta odchyleń od równowagi długookresowej (np. cen i kosztów). Zobacz: Szeregi czasowe.

Przyczynowość Grangera

Matematyczna. $X$ powoduje w sensie Grangera $Y$, jeśli przeszłe $X$ poprawiają prognozę $Y$ (test F na opóźnieniach $X$). Intuicyjna. „Czy przeszłość $X$ pomaga przewidzieć $Y$” — predykcja, nie prawdziwa przyczynowość. Historyczna. Clive Granger (1969, Nobel 2003). Ekonomiczna. Czy podaż pieniądza wyprzedza inflację. Zobacz: Modele VAR.

Ekonometria — dane panelowe i modele dyskretne

Dane panelowe

Matematyczna. Obserwacje $y_{it}$ dla jednostek $i=1,\dots,N$ w okresach $t=1,\dots,T$. Intuicyjna. Łączą wymiar przekrojowy (wiele jednostek) z czasowym (wiele okresów). Historyczna. Metody panelowe rozwinięto od lat 60.–80. XX w. (Mundlak, Hausman). Ekonomiczna. Badanie firm lub krajów w czasie; kontrola cech nieobserwowanych. Zobacz: Dane panelowe.

Efekty stałe (FE)

Matematyczna. $y_{it}=\alpha_i+\mathbf{x}_{it}^\top\boldsymbol\beta+\varepsilon_{it}$ z indywidualnym przechwytem $\alpha_i$; estymator within. Intuicyjna. Każda jednostka ma własny „poziom”; analizujemy zmienność wewnątrz jednostek. Historyczna. Standard analizy panelu (Mundlak 1978). Ekonomiczna. Kontrola stałych w czasie cech kraju/firmy (kultura, geografia). Zobacz: Dane panelowe.

Efekty losowe (RE)

Matematyczna. $\alpha_i$ traktowane jako losowe, nieskorelowane ze zmiennymi: $\alpha_i\sim(0,\sigma_\alpha^2)$. Intuicyjna. Efekty indywidualne jako losowe odchylenia — efektywniejsze, lecz wymaga egzogeniczności. Historyczna. Test Hausmana rozstrzyga wybór FE vs RE. Ekonomiczna. Gdy jednostki to losowa próba z populacji (np. losowo wybrane gospodarstwa). Zobacz: Dane panelowe.

Model logitowy

Matematyczna. $P(Y=1\mid x)=\dfrac{1}{1+e^{-(\beta_0+\beta_1 x)}}$ (dystrybuanta logistyczna). Intuicyjna. Modeluje prawdopodobieństwo zdarzenia 0/1 jako gładką krzywą S. Historyczna. Funkcję logistyczną do danych binarnych zastosował Berkson (1944). Ekonomiczna. Dla $\beta_0=-1,\beta_1=0{,}5,x=4$: $P=\tfrac{1}{1+e^{-1}}\approx 0{,}73$ (np. prawdop. spłaty kredytu). Zobacz: Modele logit i probit.

Model probitowy

Matematyczna. $P(Y=1\mid x)=\Phi(\beta_0+\beta_1 x)$, gdzie $\Phi$ to dystrybuanta normalna. Intuicyjna. Jak logit, lecz oparty na rozkładzie normalnym zmiennej ukrytej. Historyczna. Wprowadzony przez Busta (1934) w biometrii. Ekonomiczna. Modelowanie decyzji binarnych (kupić/nie kupić, zatrudnić/nie). Zobacz: Modele logit i probit.

Ekonometria — wnioskowanie przyczynowe

Efekt przyczynowy (ATE)

Matematyczna. $\mathrm{ATE}=\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)]$ — różnica wyników potencjalnych z interwencją i bez. Intuicyjna. „O ile zmieniłby się wynik, gdyby zastosować politykę” — porównanie z kontrfaktycznym. Historyczna. Model wyników potencjalnych Neymana-Rubina (Neyman 1923, Rubin 1974). Ekonomiczna. Efekt szkolenia na zarobki, programu na zatrudnienie. Zobacz: Zmienne instrumentalne.

Różnica w różnicach (DiD)

Matematyczna. $\widehat{\mathrm{DiD}}=(\bar{Y}^{T}_{po}-\bar{Y}^{T}_{przed})-(\bar{Y}^{C}_{po}-\bar{Y}^{C}_{przed})$. Intuicyjna. Odejmuje od zmiany w grupie objętej polityką zmianę w grupie kontrolnej. Historyczna. Idea sięga Snowa (cholera, 1855); rozwój w ekonometrii pracy (lata 90.). Ekonomiczna. Dla $(50-30)-(40-35)=20-5=15$ — efekt reformy wynosi $15$. Zobacz: Zmienne instrumentalne.

Błędy standardowe odporne (HC)

Matematyczna. Estymator White’a $\widehat{\mathrm{Var}}(\hat{\boldsymbol\beta})=(\mathbf{X}^\top\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^\top\hat{\boldsymbol\Omega}\mathbf{X}(\mathbf{X}^\top\mathbf{X})^{-1}$. Intuicyjna. Poprawne błędy standardowe mimo heteroskedastyczności — bez zmiany ocen $\hat\beta$. Historyczna. Halbert White (1980). Ekonomiczna. Standard w mikroekonometrii (opcja „robust” w oprogramowaniu). Zobacz: Heteroskedastyczność.

Ekonometria — naruszenia założeń i diagnostyka

Heteroskedastyczność

Matematyczna. Niestała wariancja składnika losowego: $\mathrm{Var}(\varepsilon_i)=\sigma_i^2$ zależne od $i$. Intuicyjna. Rozrzut błędów rośnie (lub maleje) wraz ze zmiennymi — np. wydatki bardziej rozproszone przy wysokich dochodach. Historyczna. Diagnostykę i korektę rozwinęli m.in. White, Breusch i Pagan (lata 70.–80.). Ekonomiczna. Nie obciąża $\hat\beta$, lecz zaniża błędy standardowe; lek: błędy odporne lub WLS. Zobacz: Heteroskedastyczność.

Autokorelacja

Matematyczna. Skorelowanie składników losowych w czasie: $\mathrm{Cov}(\varepsilon_t,\varepsilon_{t-h})\ne 0$. Intuicyjna. Błąd w jednym okresie „przenosi się” na następny — typowe w szeregach czasowych. Historyczna. Wykrywanie zapoczątkowali Durbin i Watson (1950). Ekonomiczna. Dla $\hat\rho=0{,}3$ statystyka DW $\approx 1{,}4$; lek: GLS lub błędy Neweya-Westa. Zobacz: Autokorelacja.

Egzogeniczność

Matematyczna. $\mathbb{E}[\varepsilon\mid X]=0$ (egzogeniczność ścisła) lub $\mathrm{Cov}(X,\varepsilon)=0$ (słaba). Intuicyjna. Zmienna objaśniająca „czysta”, nieskorelowana z tym, czego model nie ujmuje. Historyczna. Pojęcie sprecyzowali Engle, Hendry i Richard (1983). Ekonomiczna. Warunek nieobciążoności i zgodności MNK; jej brak wymaga IV. Zobacz: Zmienne instrumentalne.

Regresja pozorna

Matematyczna. Regresja dwóch niezależnych szeregów $I(1)$ daje wysokie $R^2$ i istotne $t$ mimo braku związku. Intuicyjna. Dwa rosnące trendy „wyglądają” na powiązane, choć nie są. Historyczna. Zjawisko opisali Granger i Newbold (1974). Ekonomiczna. Ostrzeżenie przed regresją na niestacjonarnych danych makro bez kointegracji. Zobacz: Szeregi czasowe.

Dźwignia (leverage)

Matematyczna. Element $h_{ii}$ macierzy kapeluszowej $\mathbf{H}=\mathbf{X}(\mathbf{X}^\top\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^\top$; $\sum h_{ii}=k+1$. Intuicyjna. Mierzy, jak nietypowe jest położenie obserwacji w przestrzeni zmiennych objaśniających. Historyczna. Pojęcie z diagnostyki regresji (Belsley, Kuh, Welsch, 1980). Ekonomiczna. Obserwacja o $h_{ii}\gt\tfrac{2(k+1)}{n}$ uchodzi za wpływową — warto ją zbadać. Zobacz: Regresja liniowa.

Obserwacja wpływowa

Matematyczna. Obserwacja silnie zmieniająca oceny po jej usunięciu; mierzona np. odległością Cooka. Intuicyjna. Pojedynczy punkt „przeciągający” całą prostą regresji. Historyczna. Odległość Cooka wprowadził R. D. Cook (1977). Ekonomiczna. Czwarty zbiór kwartetu Anscombe’a opiera się na jednej obserwacji wpływowej. Zobacz: Korelacja — kwartet Anscombe’a.

Ekonometria — testy uzupełniające

Test Walda

Matematyczna. $W=(\mathbf{R}\hat{\boldsymbol\beta}-\mathbf{q})^\top[\mathbf{R}\,\widehat{\mathrm{Var}}(\hat{\boldsymbol\beta})\,\mathbf{R}^\top]^{-1}(\mathbf{R}\hat{\boldsymbol\beta}-\mathbf{q})\sim\chi^2_q$. Intuicyjna. Bada, czy oceny są „daleko” od wartości narzuconych przez hipotezę. Historyczna. Abraham Wald (1943). Ekonomiczna. Test ograniczeń liniowych na parametrach (np. stałe przychody skali). Zobacz: Testy hipotez.

Test mnożników Lagrange'a (LM)

Matematyczna. Oparty na gradiencie log-wiarygodności w punkcie $H_0$; często $\mathrm{LM}=nR^2\sim\chi^2$. Intuicyjna. Sprawdza, czy model z ograniczeniem „chciałby” się poprawić po ich zniesieniu. Historyczna. Rao (1948), spopularyzowany przez Breuscha i Pagana. Ekonomiczna. Testy heteroskedastyczności i autokorelacji są w istocie testami LM. Zobacz: Testy hipotez.

Test ilorazu wiarygodności (LR)

Matematyczna. $\mathrm{LR}=2(\ln\hat{L}_{UR}-\ln\hat{L}_{R})\sim\chi^2_q$. Intuicyjna. Porównuje dopasowanie modelu z ograniczeniami i bez nich poprzez wiarygodność. Historyczna. Neyman i Pearson (1928). Ekonomiczna. Wybór między modelem prostszym a bogatszym (np. dodatkowe zmienne w logicie). Zobacz: Testy hipotez.

Modele ARCH / GARCH

Matematyczna. GARCH(1,1): $\sigma_t^2=\omega+\alpha\varepsilon_{t-1}^2+\beta\sigma_{t-1}^2$. Intuicyjna. Wariancja zmienia się w czasie i „grupuje” — okresy spokoju i burzy na rynkach. Historyczna. ARCH — Engle (1982, Nobel 2003); GARCH — Bollerslev (1986). Ekonomiczna. Modelowanie zmiennej w czasie zmienności stóp zwrotu (ryzyko finansowe). Zobacz: Szeregi czasowe.

Ekonometria — specyfikacja i pojęcia uzupełniające

Specyfikacja modelu

Matematyczna. Wybór zmiennych, postaci funkcyjnej i struktury błędu modelu. Intuicyjna. „Z czego” zbudowany jest model — błędna specyfikacja psuje wszystkie wnioski. Historyczna. Metodyka „od ogólnego do szczególnego” — Hendry (szkoła LSE). Ekonomiczna. W Polsce sformalizowana m.in. metodą Hellwiga doboru zmiennych. Zobacz: Polskie szkoły ekonometrii.

Funkcja regresji

Matematyczna. $\mathbb{E}[Y\mid X=x]$ — warunkowa wartość oczekiwana $Y$ przy danym $x$. Intuicyjna. „Przeciętne $Y$ dla danego $X$” — to ją regresja szacuje. Historyczna. Pojęcie wywodzi się z prac Galtona nad warunkowymi średnimi. Ekonomiczna. Przeciętna konsumpcja przy danym poziomie dochodu. Zobacz: Regresja liniowa.

Wartość dopasowana

Matematyczna. $\hat{y}_i=\mathbf{x}_i^\top\hat{\boldsymbol\beta}$ — wartość przewidziana przez model dla obserwacji $i$. Intuicyjna. „Co model mówi”, zanim porównamy to z rzeczywistym $y_i$. Historyczna. Nieodłączna od metody najmniejszych kwadratów. Ekonomiczna. $\hat{C}=7{,}25+0{,}55\cdot 40=29{,}25$ tys. zł dla dochodu $40$. Zobacz: Regresja liniowa.

Prognoza

Matematyczna. $\hat{y}_{n+1}=\mathbf{x}_{n+1}^\top\hat{\boldsymbol\beta}$ z przedziałem predykcji uwzględniającym wariancję błędu. Intuicyjna. Przewidywanie wartości poza próbą, z jawną niepewnością. Historyczna. Teoria prognozy ekonometrycznej — m.in. Zbigniew Pawłowski (Kraków). Ekonomiczna. Prognoza inflacji, sprzedaży, PKB na kolejny okres. Zobacz: Szeregi czasowe.

Błąd prognozy

Matematyczna. $e_{n+1}=y_{n+1}-\hat{y}_{n+1}$; miary: RMSE $=\sqrt{\tfrac1m\sum e^2}$, MAE $=\tfrac1m\sum|e|$. Intuicyjna. O ile prognoza rozminęła się z rzeczywistością. Historyczna. Miary trafności prognoz rozwijano wraz z prognozowaniem (Theil — współczynnik U). Ekonomiczna. Ocena i porównanie modeli prognostycznych. Zobacz: Szeregi czasowe.

Trend

Matematyczna. Składowa systematyczna $y_t=f(t)+\dots$; trend liniowy $\alpha+\beta t$ lub stochastyczny (błądzenie losowe z dryfem). Intuicyjna. Długookresowy kierunek szeregu — wzrostowy lub spadkowy. Historyczna. Dekompozycja szeregu na trend, sezonowość i resztę — klasyka analizy szeregów. Ekonomiczna. Trend wzrostowy PKB, spadkowy bezrobocia. Zobacz: Szeregi czasowe.

Sezonowość

Matematyczna. Składowa okresowa o stałym okresie $s$ (np. $s=12$ dla danych miesięcznych). Intuicyjna. Regularne wahania powtarzające się co rok/kwartał. Historyczna. Metody odsezonowania (X-11, X-13) rozwijane od lat 60. (US Census). Ekonomiczna. Wzrost sprzedaży w grudniu, spadek bezrobocia latem. Zobacz: Funkcje — okresowość.

Opóźnienie (lag)

Matematyczna. Operator opóźnienia $L$: $L y_t=y_{t-1}$, $L^p y_t=y_{t-p}$. Intuicyjna. Sięganie do przeszłych wartości zmiennej — pamięć szeregu. Historyczna. Notację operatorową upowszechnili Box i Jenkins. Ekonomiczna. Opóźniona reakcja konsumpcji na zmianę dochodu (modele dynamiczne). Zobacz: Szeregi czasowe.

Różnicowanie

Matematyczna. $\Delta y_t=y_t-y_{t-1}=(1-L)y_t$; $d$-krotne usuwa $d$ pierwiastków jednostkowych. Intuicyjna. Zamiana poziomów na przyrosty, by uzyskać stacjonarność. Historyczna. Element metodologii ARIMA (Box-Jenkins). Ekonomiczna. Modelowanie wzrostu (przyrostów) zamiast poziomów PKB. Zobacz: Szeregi czasowe.

Zmienna zero-jedynkowa (dummy)

Matematyczna. $D_i\in\{0,1\}$ kodująca przynależność do grupy; wśród $m$ kategorii używamy $m-1$ zmiennych. Intuicyjna. „Przełącznik” przesuwający wyraz wolny dla wyróżnionej grupy. Historyczna. Pułapka zmiennych zero-jedynkowych to klasyczny przypadek współliniowości doskonałej. Ekonomiczna. Efekt płci, regionu, kwartału na badaną zmienną. Zobacz: Regresja liniowa.

Interakcja

Matematyczna. Człon $\beta_3(X_1\cdot X_2)$; wpływ $X_1$ na $Y$ zależy wtedy od poziomu $X_2$. Intuicyjna. „Efekt zależy od kontekstu” — np. zwrot z edukacji różny dla kobiet i mężczyzn. Historyczna. Analiza interakcji wywodzi się z planowania eksperymentów (Fisher). Ekonomiczna. Modelowanie zróżnicowanego wpływu polityki w różnych grupach. Zobacz: Regresja liniowa.

Model log-liniowy

Matematyczna. $\ln Y=\beta_0+\beta_1\ln X+\varepsilon$ (log-log) lub $\ln Y=\beta_0+\beta_1 X$ (log-poziom). Intuicyjna. W log-log $\beta_1$ to elastyczność; w log-poziom $100\beta_1\%$ to półelastyczność. Historyczna. Powiązany z funkcją produkcji Cobba-Douglasa (1928). Ekonomiczna. Funkcja Cobba-Douglasa po zlogarytmowaniu jest liniowa — stąd estymacja MNK. Zobacz: Pochodne — elastyczność.

Efekt krańcowy (w modelach nieliniowych)

Matematyczna. W logicie $\dfrac{\partial P}{\partial x}=\beta_1\,P(1-P)$ — zależy od poziomu $x$. Intuicyjna. W modelach nieliniowych wpływ zmiennej nie jest stały, lecz zależy od punktu. Historyczna. Standardowy raport po estymacji logitu/probitu. Ekonomiczna. Przy $P=0{,}73$: efekt krańcowy $=0{,}5\cdot 0{,}73\cdot 0{,}27\approx 0{,}099$. Zobacz: Modele logit i probit.

Metoda momentów

Matematyczna. Przyrównanie momentów próbkowych do teoretycznych, np. $\tfrac1n\sum x_i=\mathbb{E}[X]=g(\theta)$, i rozwiązanie względem $\theta$. Intuicyjna. „Niech średnia z danych równa się średniej teoretycznej” — proste i intuicyjne. Historyczna. Karl Pearson (1894); uogólnienie (GMM) — Hansen (1982). Ekonomiczna. Punkt wyjścia dla GMM w modelach dynamicznych i panelowych. Zobacz: Dane panelowe.

Macierz informacyjna Fishera

Matematyczna. $I(\theta)=-\mathbb{E}\big[\tfrac{\partial^2\ell}{\partial\theta\,\partial\theta^\top}\big]$; wariancja MNW dąży do $I(\theta)^{-1}$. Intuicyjna. Mierzy „ilość informacji” o parametrze w danych — więcej informacji, mniejsza wariancja. Historyczna. Wprowadzona przez Ronalda Fishera (1922). Ekonomiczna. Wyznacza asymptotyczne błędy standardowe w logicie, probicie i innych modelach MNW. Zobacz: Modele logit i probit.

Słownik jest sukcesywnie rozszerzany o kolejne pojęcia z ekonometrii. Każdy termin techniczny w artykułach na portalu docelowo prowadzi do odpowiedniego hasła.