Pochodne — tempo zmian — Ekonometria.org

Streszczenie

Pochodna wyłożona od podstaw: geneza (problem stycznej Fermata, fluksje Newtona, dx Leibniza), iloraz różnicowy i granica, pochodna z definicji, różniczkowalność a ciągłość (dowód), reguły różniczkowania z wyprowadzeniem reguły iloczynu, reguła łańcuchowa, pochodne funkcji elementarnych, pochodne wyższych rzędów, monotoniczność i wypukłość, twierdzenie Fermata i twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej, wzór Taylora, zastosowania ekonomiczne (maksymalizacja zysku, elastyczność), pochodne cząstkowe i gradient w 3D oraz uogólnienie na ℝⁿ. Każde pojęcie i każdy przykład z osobnym rysunkiem.

Pochodna mierzy tempo zmian — chwilową szybkość, z jaką wartość funkcji reaguje na zmianę argumentu. W ekonomii jest to koszt krańcowy, przychód krańcowy i elastyczność; w ekonometrii — gradient funkcji celu, którego zerowanie wyznacza estymatory. Niniejszy rozdział buduje rachunek różniczkowy od historycznego problemu stycznej, przez iloraz różnicowy i reguły różniczkowania, aż po wzór Taylora oraz pochodne cząstkowe i gradient w przestrzeni $\mathbb{R}^n$. Każde pojęcie i każdy przykład otrzymuje osobny rysunek, a kluczowe twierdzenia — dowód.

Geneza pojęcia pochodnej

Pochodna wyrosła z dwóch pozornie odległych pytań, które okazały się tym samym problemem. Pierwszym był problem stycznej: jak poprowadzić prostą dotykającą krzywej w jednym punkcie? W XVII wieku Pierre de Fermat zauważył, że w punkcie ekstremum styczna jest pozioma, i wyznaczał ją, porównując wartości funkcji w punktach odległych o nieskończenie małą wielkość. Drugim było pytanie o prędkość chwilową: jeżeli znamy położenie ciała jako funkcję czasu, jak szybko porusza się ono w danej chwili — a nie tylko średnio na odcinku?

Oba pytania prowadzą do tej samej konstrukcji. Prędkość średnia na odcinku czasu to iloraz przebytej drogi przez czas — geometrycznie nachylenie siecznej wykresu położenia. Prędkość chwilowa powstaje, gdy odcinek czasu kurczy się do zera, a sieczna przechodzi w styczną.

Prędkość średnia (sieczna) i chwilowa (styczna) na wykresie położenia — Położenie $s(t)=t^2$ w czasie. Nachylenie siecznej między dwiema chwilami to prędkość średnia na tym odcinku; nachylenie stycznej w pojedynczej chwili to prędkość chwilowa. Pochodna jest granicą pierwszej, gdy odcinek czasu maleje do zera.

Isaac Newton nazwał chwilowe tempo zmian fluksją, a Gottfried Wilhelm Leibniz wprowadził zapis $\tfrac{dy}{dx}$ jako iloraz nieskończenie małych przyrostów — notację, której używamy do dziś. Ścisłą podstawę dała dopiero granica w ujęciu Cauchy’ego, i od niej rozpoczynamy definicję.

Definicja pochodnej

Definicja

Pochodna funkcji w punkcie

Pochodną funkcji $f$ w punkcie $x_0$ nazywamy granicę ilorazu różnicowego

$$ f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, $$

o ile granica ta istnieje i jest skończona; mówimy wówczas, że funkcja jest różniczkowalna w $x_0$. Iloraz $\tfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ to nachylenie siecznej przez punkty $\big(x_0,f(x_0)\big)$ i $\big(x_0+h,f(x_0+h)\big)$.

Geometrycznie pochodna $f'(x_0)$ jest nachyleniem stycznej do wykresu w punkcie $\big(x_0,f(x_0)\big)$: granicznym położeniem siecznych, gdy drugi punkt zsuwa się ku pierwszemu.

Sieczne dążące do stycznej gdy h dąży do zera — Iloraz różnicowy to nachylenie siecznej wyznaczonej przez punkty odległe o $h$. Przy $h\to 0$ sieczne (jasne) obracają się do położenia granicznego — stycznej (ciemna). Jej nachylenie jest wartością pochodnej.

Pochodna z definicji — pełny rachunek

Policzmy pochodną $f(x)=x^2$ w punkcie $x_0=2$ wprost z definicji. Tworzymy iloraz różnicowy:

$$ \frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{(2+h)^2-4}{h}=\frac{4+4h+h^2-4}{h}=\frac{4h+h^2}{h}=4+h. $$

Przy $h\to 0$ wyrażenie $4+h$ dąży do $4$. Zatem $f'(2)=4$ — sieczne o nachyleniach $4+h$ obracają się do stycznej o nachyleniu $4$. Tym samym rachunkiem dla dowolnego $x_0$ otrzymalibyśmy $f'(x_0)=2x_0$, czyli regułę $(x^2)'=2x$.

Sieczne do paraboli zbiegające do stycznej o nachyleniu cztery — Pochodna $f(x)=x^2$ w punkcie $x_0=2$ z definicji. Sieczne łączące $(2,4)$ z punktami $(2+h,(2+h)^2)$ mają nachylenia $4+h$; gdy $h$ maleje, zbliżają się do stycznej o nachyleniu $4$. Stąd $f'(2)=4$.

Styczna do paraboli jako pochodna — Pochodna $f'(2)=7$ jako nachylenie stycznej do wykresu $f(x)=x^2+3x$ w punkcie $(2,10)$ — tempo, w jakim funkcja rośnie w tym miejscu.

Różniczkowalność a ciągłość

Różniczkowalność jest warunkiem mocniejszym niż ciągłość: każda funkcja różniczkowalna jest ciągła, lecz nie odwrotnie.

Twierdzenie

Różniczkowalność pociąga ciągłość

Jeżeli $f$ ma pochodną w $x_0$, to jest w $x_0$ ciągła. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe: $f(x)=|x|$ jest ciągła w $0$, lecz nieróżniczkowalna.

Dowód

Pochodna ⇒ ciągłość

Rozpisanie przyrostu. Dla $h\ne 0$ piszemy $f(x_0+h)-f(x_0)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\cdot h$.
Przejście graniczne. Pierwszy czynnik dąży do skończonej liczby $f'(x_0)$, a drugi do $0$, więc iloczyn dąży do $f'(x_0)\cdot 0=0$.
Wniosek. Stąd $f(x_0+h)\to f(x_0)$, czyli $f$ jest ciągła w $x_0$. $\;$

∎

Wartość bezwzględna z narożnikiem w zerze — Funkcja $f(x)=|x|$ jest ciągła wszędzie, lecz w $x=0$ ma ostry narożnik: sieczne z lewej dążą do nachylenia $-1$, a z prawej do $+1$. Granica ilorazu różnicowego nie istnieje, więc funkcja nie jest różniczkowalna w zerze.

Reguły różniczkowania

Granicy nie trzeba liczyć za każdym razem — działania na funkcjach mają swoje odpowiedniki w działaniach na pochodnych.

Twierdzenie

Podstawowe reguły

Dla różniczkowalnych $f,g$ oraz stałej $c$:

$$ (c)'=0,\qquad (x^n)'=n x^{n-1},\qquad (f+g)'=f'+g',\qquad (c f)'=c f', $$

$$ (fg)'=f'g+fg',\qquad \Big(\frac{f}{g}\Big)'=\frac{f'g-fg'}{g^2},\qquad (g\circ f)'(x)=g'\big(f(x)\big)\,f'(x). $$

Dowód

Reguła iloczynu (wzór Leibniza)

Zabieg dodania i odjęcia. W liczniku ilorazu różnicowego iloczynu wstawiamy człon pośredni: $$\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,g(x+h)+f(x)\,\frac{g(x+h)-g(x)}{h}.$$
Granice czynników. Przy $h\to 0$ pierwszy iloraz dąży do $f'(x)$, czynnik $g(x+h)\to g(x)$ (bo $g$ ciągła jako różniczkowalna), a drugi iloraz do $g'(x)$.
Wniosek. Stąd $(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$. $\;$

∎

Przyrost pola prostokąta ilustrujący regułę iloczynu — Reguła iloczynu geometrycznie: pole prostokąta $f\cdot g$ przyrasta o dwa paski — $g\,df$ oraz $f\,dg$ — gdy boki rosną o $df$ i $dg$. Maleńki narożnik $df\,dg$ jest pomijalny w granicy. Stąd $d(fg)=g\,df+f\,dg$, czyli $(fg)'=f'g+fg'$.

Reguła łańcuchowa

Pochodna złożenia jest iloczynem temp zmian. Jeżeli $u=g(x)$ zmienia się w tempie $g'(x)$, a $f$ reaguje na $u$ w tempie $f'(u)$, to złożenie zmienia się w tempie będącym iloczynem tych temp.

Przykład

Reguła łańcuchowa w działaniu

Dla $h(x)=(3x+1)^5$ przyjmujemy $f(u)=u^5$ oraz $g(x)=3x+1$. Wtedy $f'(u)=5u^4$ i $g'(x)=3$, więc

$$ h'(x)=f'\big(g(x)\big)\,g'(x)=5(3x+1)^4\cdot 3=15(3x+1)^4. $$

Reguła łańcuchowa jako mnożenie temp zmian — Reguła łańcuchowa jako mnożenie temp: zmiana $x$ wywołuje zmianę $u=g(x)$ w tempie $g'(x)$, a ta wywołuje zmianę $y=f(u)$ w tempie $f'(u)$. Łączne tempo $\tfrac{dy}{dx}$ jest iloczynem — niczym przełożenie dwóch przekładni.

Pochodne funkcji elementarnych

Twierdzenie

Pochodne podstawowych funkcji

$$ (x^n)'=n x^{n-1},\quad (e^x)'=e^x,\quad (a^x)'=a^x\ln a,\quad (\ln x)'=\frac1x,\quad (\sin x)'=\cos x,\quad (\cos x)'=-\sin x. $$

Dwie z tych reguł zasługują na osobny rysunek. Funkcja $e^x$ jest swoją własną pochodną: w każdym punkcie nachylenie stycznej równa się wysokości wykresu. To wyróżnia ją spośród wszystkich funkcji i czyni fundamentem modeli wzrostu.

Funkcja wykładnicza, której nachylenie równa się wysokości — Funkcja $e^x$ i jej styczna w $x=1$. Nachylenie stycznej równa się wartości funkcji w tym punkcie, $e\approx 2{,}718$. Własność $(e^x)'=e^x$ zachodzi w każdym punkcie wykresu.

Pochodna sinusa to cosinus: tam, gdzie sinus rośnie najszybciej (w zerze), cosinus przyjmuje wartość maksymalną $1$; tam, gdzie sinus osiąga szczyt, jego tempo zmian — a więc cosinus — wynosi zero.

Sinus i cosinus jako funkcja i jej pochodna — Pochodną sinusa jest cosinus. Cosinus odczytuje nachylenie sinusa: jest największy tam, gdzie sinus rośnie najstromiej, i zeruje się w szczytach i dolinach sinusa.

Pochodne wyższych rzędów, monotoniczność i wypukłość

Pochodna pochodnej to druga pochodna $f''(x)$. Pierwsza pochodna opisuje wzrost, druga — wypukłość:

$f'(x)\gt 0$ — funkcja rosnąca; $f'(x)\lt 0$ — malejąca;
$f''(x)\gt 0$ — funkcja wypukła (krzywa wygina się w górę); $f''(x)\lt 0$ — wklęsła.

Punkt, w którym druga pochodna zmienia znak, to punkt przegięcia — granica między częścią wklęsłą a wypukłą.

Funkcja sześcienna z punktem przegięcia — Funkcja $f(x)=x^3$: dla $x\lt 0$ jest wklęsła ($f''=6x\lt 0$), dla $x\gt 0$ wypukła ($f''\gt 0$), a w $x=0$ ma punkt przegięcia, gdzie wypukłość zmienia znak.

Funkcja i jej pochodna — znak pochodnej a monotoniczność — Znak pochodnej $f'$ rządzi monotonicznością $f$: tam, gdzie $f'\gt 0$, funkcja rośnie; gdzie $f'\lt 0$, maleje. Miejsca zerowe $f'$ to punkty krytyczne — kandydaci na ekstrema.

Twierdzenie Fermata i klasyfikacja ekstremów

Twierdzenie

Twierdzenie Fermata o ekstremum

Jeżeli funkcja różniczkowalna ma w wewnętrznym punkcie $x_0$ ekstremum lokalne, to $f'(x_0)=0$. Punkty zerowania pochodnej nazywamy stacjonarnymi lub krytycznymi.

Warunek $f'(x_0)=0$ jest konieczny, lecz nie wystarczający — rozstrzyga dopiero druga pochodna. Prześledźmy to na pełnym przykładzie. Dla $f(x)=x^3-3x$ mamy

$$ f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1),\qquad f''(x)=6x. $$

Pochodna zeruje się w $x=\pm 1$. Ponieważ $f''(1)=6\gt 0$, w $x=1$ jest minimum lokalne; ponieważ $f''(-1)=-6\lt 0$, w $x=-1$ jest maksimum lokalne.

Ekstrema funkcji x sześcian minus 3x — Funkcja $f(x)=x^3-3x$: w $x=-1$ maksimum lokalne ($f''\lt 0$), w $x=1$ minimum lokalne ($f''\gt 0$). W obu punktach styczna jest pozioma ($f'=0$). Druga pochodna rozstrzyga, który punkt stacjonarny jest którym ekstremum.

Twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej

Twierdzenie

Twierdzenie Lagrange'a (o wartości średniej)

Jeżeli $f$ jest ciągła na $[a,b]$ i różniczkowalna na $(a,b)$, to istnieje punkt $c\in(a,b)$ taki, że

$$ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. $$

Istnieje więc punkt, w którym styczna jest równoległa do siecznej łączącej końce wykresu.

Twierdzenie to wiąże zachowanie globalne (średnią zmianę na odcinku) z lokalnym (chwilowym tempem) i leży u podstaw dowodów wielu twierdzeń analizy. Intuicyjnie: jeżeli średnia prędkość na trasie wynosiła $90$ km/h, to w pewnej chwili prędkościomierz wskazywał dokładnie $90$.

Twierdzenie o wartości średniej — styczna równoległa do siecznej — Twierdzenie Lagrange’a: dla pewnego punktu $c$ między $a$ a $b$ styczna do wykresu jest równoległa do siecznej łączącej $\big(a,f(a)\big)$ i $\big(b,f(b)\big)$ — chwilowe tempo zrównuje się ze średnim.

Wzór Taylora

Pochodne wyższych rzędów pozwalają przybliżać funkcję wielomianem. Wzór Taylora w punkcie $x_0$ ma postać

$$ f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2+\dots $$

Pierwszy wyraz to przybliżenie stałe, dwa pierwsze — styczna (przybliżenie liniowe), trzy — parabola dopasowana co do krzywizny. Im więcej wyrazów, tym lepsze przybliżenie w otoczeniu $x_0$. W ekonometrii dokładnie tak linearyzuje się nieliniowe modele wokół punktu.

Funkcja wykładnicza i jej wielomiany Taylora — Funkcja $e^x$ i jej wielomiany Taylora w zerze: $1+x$ (styczna) oraz $1+x+\tfrac{x^2}{2}$ (parabola). Każdy kolejny wyraz poprawia dopasowanie w pobliżu zera — najpierw co do nachylenia, potem co do krzywizny.

Zastosowania w ekonomii i ekonometrii

Maksymalizacja zysku

Firma poszukuje produkcji $Q$ maksymalizującej zysk $\pi(Q)$. Warunkiem koniecznym jest zerowanie pochodnej (przychód krańcowy równy kosztowi krańcowemu), $\pi'(Q^*)=0$, a warunkiem wystarczającym maksimum — ujemna druga pochodna, $\pi''(Q^*)\lt 0$.

Elastyczność i modele log-liniowe

Elastyczność cenowa popytu, $\varepsilon=\dfrac{dQ}{dP}\cdot\dfrac{P}{Q}$, mierzy procentową reakcję ilości na procentową zmianę ceny. Z tego powodu w ekonometrii często stosuje się model log-liniowy

$$ \ln Y=\beta_0+\beta_1\ln X+\varepsilon, $$

w którym współczynnik $\beta_1$ jest elastycznością, ponieważ

$$ \beta_1=\frac{d\ln Y}{d\ln X}=\frac{dY/Y}{dX/X}. $$

Pochodna logarytmu zamienia zmiany bezwzględne na względne (procentowe) — stąd naturalność tej postaci w modelowaniu.

Pochodne cząstkowe i gradient

W ekonometrii funkcje zależą zwykle od wielu zmiennych — produkcja od kapitału i pracy, suma kwadratów reszt od wszystkich parametrów $\beta$. Pochodna cząstkowa $\tfrac{\partial f}{\partial x}$ mierzy tempo zmiany, gdy poruszamy tylko jedną zmienną, trzymając pozostałe stałe.

Dla $z=f(x,y)$ pochodne cząstkowe $\tfrac{\partial f}{\partial x}$ i $\tfrac{\partial f}{\partial y}$ to nachylenia powierzchni wzdłuż osi $x$ i $y$. Razem wyznaczają płaszczyznę styczną do powierzchni — dwuwymiarowy odpowiednik stycznej:

$$ z=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(y-y_0). $$

Płaszczyzna styczna do paraboloidy — pochodne cząstkowe — Płaszczyzna styczna do powierzchni $z=x^2+y^2$ w punkcie $(1,1,2)$. Jej nachylenia w kierunkach $x$ i $y$ to pochodne cząstkowe $\tfrac{\partial f}{\partial x}=2x$ i $\tfrac{\partial f}{\partial y}=2y$, w tym punkcie obie równe $2$. To trójwymiarowy odpowiednik stycznej do krzywej.

Zebrane w wektor pochodne cząstkowe tworzą gradient $\nabla f=\big(\tfrac{\partial f}{\partial x},\tfrac{\partial f}{\partial y}\big)$. Gradient wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji i jest prostopadły do poziomic — to on napędza algorytmy optymalizacji (metodę gradientową) używane do estymacji.

Gradient prostopadły do poziomic — Gradient funkcji $f=x^2+y^2$ jest prostopadły do poziomic (okręgów) i wskazuje kierunek najszybszego wzrostu — od środka na zewnątrz. Algorytmy spadku gradientowego poruszają się w kierunku przeciwnym, ku minimum.

Gradient w $\mathbb{R}^n$ i czwarty wymiar.

Dla funkcji $f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ gradient jest wektorem $n$ pochodnych cząstkowych, $\nabla f=\big(\tfrac{\partial f}{\partial x_1},\dots,\tfrac{\partial f}{\partial x_n}\big)$. Warunek ekstremum brzmi tak samo jak w jednej zmiennej, tyle że dotyczy wszystkich kierunków naraz: $\nabla f=\mathbf{0}$, czyli płaszczyzna (a właściwie hiperpłaszczyzna) styczna jest pozioma. Dokładnie ten warunek minimalizuje sumę kwadratów reszt w metodzie najmniejszych kwadratów, gdzie funkcja celu zależy od wielu parametrów. Geometrii w $\mathbb{R}^4$ i wyżej nie da się narysować, lecz rachunek pozostaje identyczny — gradient i warunek $\nabla f=\mathbf{0}$ działają w każdym wymiarze, a czterowymiarową powierzchnię można badać „warstwa po warstwie”, ustalając jedną współrzędną i analizując trójwymiarowe przekroje.

Zastosowanie — studium przypadku: monopolista maksymalizujący zysk

Rozważmy przedsiębiorstwo monopolistyczne, które jako jedyny dostawca samo kształtuje cenę przez wielkość produkcji. Niech odwrotna funkcja popytu wynosi $P=100-2Q$, a koszt całkowity $TC=20Q+200$ (koszt krańcowy $MC=20$, koszt stały $200$). Przychód całkowity to $TR=PQ=100Q-2Q^2$, a zysk

$$ \pi(Q)=TR-TC=100Q-2Q^2-(20Q+200)=-2Q^2+80Q-200. $$

Warunkiem koniecznym maksimum jest zerowanie pochodnej:

$$ \pi'(Q)=-4Q+80=0 \;\Longrightarrow\; Q^\*=20. $$

Druga pochodna $\pi''(Q)=-4\lt 0$ potwierdza maksimum. Stąd cena $P^\*=100-2\cdot 20=60$ i zysk $\pi(20)=600$. Równoważnie: $\pi'(Q)=MR-MC$, gdzie przychód krańcowy $MR=100-4Q$; warunek $\pi'=0$ to słynna reguła „przychód krańcowy = koszt krańcowy” ($100-4Q=20$).

Maksymalizacja zysku monopolisty — pochodna równa zero — Zysk monopolisty $\pi(Q)=-2Q^2+80Q-200$. Pochodna zeruje się w $Q^\*=20$ (styczna pozioma), gdzie zysk osiąga maksimum $600$. To rachunkowa postać reguły $MR=MC$.

Studium to pokazuje rdzeń mikroekonomii matematycznej: optymalne decyzje wyznacza warunek pierwszego rzędu $\pi'=0$, a jego ekonomiczna treść to zrównanie wielkości krańcowych. Identyczna logika — zerowanie pochodnej (gradientu) — leży u podstaw estymacji w ekonometrii.

Literatura

Podręczniki polskie

G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I, PWN.
W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t. I, PWN.
M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, Oficyna GiS, Wrocław.

Klasyki światowe i ekonomiczne

W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976.
A. C. Chiang, K. Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw-Hill, 2005.

Artykuły i źródła historyczne

N. Guicciardini, Newton’s method and Leibniz’s calculus, w: A History of Analysis (red. H. N. Jahnke), AMS, 2003.

Definicja

Hasła w słowniku

Pojęcia z tego rozdziału znajdziesz w słowniku: pochodna, iloraz różnicowy, styczna, reguła łańcuchowa, ekstremum, pochodna cząstkowa, gradient, elastyczność.

Podsumowanie

Pochodna jest granicą ilorazu różnicowego — chwilowym tempem zmian i nachyleniem stycznej. Z historycznych problemów stycznej i prędkości wyrósł aparat reguł różniczkowania, twierdzeń o wartości średniej i wzoru Taylora, a uogólnienie na pochodne cząstkowe i gradient pozwala optymalizować funkcje wielu zmiennych w $\mathbb{R}^n$ — co stanowi rdzeń estymacji w ekonometrii.

Następnie: Całki — sumowanie nieskończenie wielu składników