Pochodne — intuicja i obliczenia

Intuicja i definicja pochodnej

Wyobraź sobie, że jedziesz samochodem. Twoja pozycja to funkcja czasu. Pochodna pozycji to prędkość — jak szybko zmienia się twoja pozycja w danej chwili.

Pochodna mierzy tempo zmiany funkcji w danym punkcie.

Formalnie: jeśli $f(x)$ to funkcja, to jej pochodna w punkcie $x_0$ to:

$$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

To jest po prostu nachylenie stycznej do wykresu w punkcie $(x_0, f(x_0))$.

Podstawowe reguły różniczkowania

Nie musisz liczyć granicy za każdym razem — mamy gotowe wzory.

Potęga

$$\frac{d}{dx} x^n = n \cdot x^{n-1}$$

Przykłady:

$\frac{d}{dx} x^3 = 3x^2$
$\frac{d}{dx} x^{10} = 10x^9$
$\frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{d}{dx} x^{1/2} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Stała

$$\frac{d}{dx} c = 0$$

Stała nie zmienia się — jej pochodna to zero.

Suma i różnica

$$\frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)$$

Różniczkujemy składniki osobno.

Iloczyn (reguła Leibniza)

$$\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$

Iloraz

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$$

Reguła łańcuchowa

Dla złożonej funkcji $h(x) = f(g(x))$:

$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Przykład: $h(x) = (3x + 1)^5$

Tutaj $f(u) = u^5$ i $g(x) = 3x + 1$:

$$h'(x) = 5(3x+1)^4 \cdot 3 = 15(3x+1)^4$$

Ważne funkcje i ich pochodne

Funkcja $f(x)$	Pochodna $f'(x)$
$x^n$	$nx^{n-1}$
$e^x$	$e^x$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$a^x$	$a^x \ln a$

Zastosowania w ekonomii i ekonometrii

Maksymalizacja zysku

Firma chce znaleźć produkcję $Q$ maksymalizującą zysk $\pi(Q)$.

Warunek konieczny: $\pi'(Q) = 0$

Warunek wystarczający (maximum): $\pi''(Q) < 0$

Elastyczność

Elastyczność cenowa popytu to:

$$\varepsilon = \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q}$$

To jest stosunek pochodnej popytu względem ceny do ilorazu cena/ilość.

Pochodna funkcji log-liniowej

W ekonometrii bardzo często używamy postaci:

$$\ln Y = \beta_0 + \beta_1 \ln X + \varepsilon$$

Wtedy $\beta_1$ to elastyczność — procentowa zmiana $Y$ na 1% zmianę $X$. Dlaczego? Bo:

$$\frac{d \ln Y}{d \ln X} = \frac{d Y / Y}{d X / X} = \beta_1$$

Pochodne wyższych rzędów

Pochodna pochodnej to druga pochodna $f''(x)$.

$f'(x) > 0$ → funkcja rosnąca
$f'(x) < 0$ → funkcja malejąca
$f''(x) > 0$ → funkcja wypukła (concave up)
$f''(x) < 0$ → funkcja wklęsła (concave down)

Przykład: $f(x) = x^3 - 3x$

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$$

$f'(x) = 0$ dla $x = \pm 1$ (punkty krytyczne)
$f'(x) > 0$ dla $|x| > 1$ (funkcja rośnie)
$f'(x) < 0$ dla $|x| < 1$ (funkcja maleje)

$$f''(x) = 6x$$

$f''(1) = 6 > 0$ → minimum lokalne w $x=1$
$f''(-1) = -6 < 0$ → maksimum lokalne w $x=-1$

Następnie: Całki — co to jest i jak liczyć