Granice i ciągłość

Streszczenie

Granica wyłożona od podstaw: geneza (paradoksy Zenona, nieskończenie małe Newtona i Leibniza, rygor Cauchy'ego i Weierstrassa), granica ciągu z definicją ε–N, granica funkcji z definicją ε–δ, definicja Heinego, prawa rachunku granic z uzasadnieniem, granice jednostronne, symbole nieoznaczone, twierdzenie o trzech funkcjach z dowodem, granica sin x / x, granice w nieskończoności i liczba e, ciągłość i jej rodzaje, twierdzenie o wartości pośredniej, granice funkcji wielu zmiennych w 3D oraz uogólnienie ciągłości na ℝⁿ. Każde pojęcie i każdy przykład z osobnym rysunkiem.

Granica jest fundamentem całego rachunku różniczkowego i całkowego. Odpowiada na jedno pytanie: do jakiej wartości zbliża się funkcja, gdy argument zbliża się do pewnego punktu? Bez tego pojęcia nie da się zdefiniować ani pochodnej — chwilowego tempa zmian — ani całki — sumy nieskończenie wielu nieskończenie małych składników. Niniejszy rozdział buduje pojęcie granicy od jego historycznych źródeł, przez ścisłe definicje, aż po granice i ciągłość funkcji wielu zmiennych. Każde pojęcie i każdy przykład otrzymuje osobny rysunek, a kluczowe twierdzenia — dowód.

Geneza pojęcia granicy

Idea granicy wyrosła z prób oswojenia nieskończoności. Już w starożytności Zenon z Elei sformułował paradoksy ruchu, które dziś rozumiemy jako problem sumowania nieskończenie wielu coraz mniejszych wielkości. W paradoksie dychotomii, aby przebyć odcinek, należy najpierw pokonać jego połowę, potem połowę reszty, potem połowę kolejnej reszty i tak bez końca. Zenon wnioskował, że ruch jest niemożliwy, ponieważ wykonać trzeba nieskończenie wiele czynności. Współczesna odpowiedź brzmi: nieskończona suma $\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\dots$ ma skończoną wartość graniczną równą $1$.

Suma geometryczna dzielonego odcinka dążąca do jedności — Paradoks Zenona w postaci sumy. Odcinek jednostkowy dzielimy na połowę, ćwiartkę, ósemkę i tak dalej; kolejne kawałki wypełniają go coraz dokładniej. Suma nieskończenie wielu składników $\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\dots$ ma skończoną granicę $1$. To pierwszy historyczny przykład przejścia granicznego.

W XVII wieku Isaac Newton i Gottfried Wilhelm Leibniz zbudowali rachunek różniczkowy, posługując się wielkościami nieskończenie małymi — bytami mniejszymi od każdej liczby dodatniej, lecz różnymi od zera. Rachunek działał znakomicie, ale jego podstawy były niejasne, co trafnie wytknął filozof George Berkeley, nazywając nieskończenie małe „duchami zmarłych wielkości”. Dopiero w XIX wieku Augustin-Louis Cauchy, a następnie Karl Weierstrass, zastąpili mgliste nieskończenie małe ścisłą definicją granicy opartą na nierównościach — sławnym językiem $\varepsilon$–$\delta$. To na nim opiera się dzisiejsza analiza i od niego rozpoczynamy systematyczny wykład.

Granica ciągu

Najprostszym przejściem granicznym jest granica ciągu — funkcji określonej na liczbach naturalnych, $a_1,a_2,a_3,\dots$. Pytamy, czy wyrazy ciągu skupiają się wokół pewnej liczby, gdy wskaźnik $n$ rośnie nieograniczenie.

Rozważmy ciąg $a_n=\tfrac{1}{n}$. Kolejne wyrazy to $1,\tfrac12,\tfrac13,\tfrac14,\dots$ — maleją i zbliżają się do zera, choć nigdy go nie osiągają. Mówimy, że ciąg jest zbieżny do granicy $0$.

Definicja

Granica ciągu (definicja ε–N)

Liczba $L$ jest granicą ciągu $(a_n)$, co zapisujemy $\lim_{n\to\infty}a_n=L$, jeżeli dla każdej liczby $\varepsilon\gt 0$ istnieje wskaźnik $N$ taki, że dla wszystkich $n\gt N$ zachodzi

$$ |a_n-L|\lt\varepsilon. $$

Słownie: jakkolwiek wąski pas $(L-\varepsilon,\,L+\varepsilon)$ wokół granicy wybierzemy, od pewnego miejsca wszystkie wyrazy ciągu w nim pozostają.

Ciąg jeden przez n zbiegający do zera z pasem epsilon — Ciąg $a_n=\tfrac1n$ zbiega do $L=0$. Dla zadanego pasa o szerokości $\varepsilon$ istnieje próg $N$ taki, że wszystkie wyrazy o wskaźniku $n\gt N$ leżą w pasie $(L-\varepsilon,\,L+\varepsilon)$. Mniejsze $\varepsilon$ wymaga większego $N$, lecz zawsze takie $N$ istnieje.

Dla $a_n=\tfrac1n$ i danego $\varepsilon$ wystarczy wziąć $N=\lceil 1/\varepsilon\rceil$: wtedy dla $n\gt N$ mamy $\tfrac1n\lt\tfrac1N\le\varepsilon$. Sprawdzenie nierówności $|a_n-0|\lt\varepsilon$ jest więc kompletne — definicja jest spełniona, granica wynosi $0$.

Granica funkcji

Przejdźmy do funkcji zmiennej rzeczywistej. Rozważmy

$$ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}. $$

W punkcie $x=1$ funkcja jest nieokreślona (mianownik się zeruje). Zbadajmy jednak jej zachowanie w pobliżu jedynki, podstawiając argumenty coraz bliższe $1$:

$x$	$0{,}9$	$0{,}99$	$0{,}999$	$\to 1 \leftarrow$	$1{,}001$	$1{,}01$	$1{,}1$
$f(x)$	$1{,}9$	$1{,}99$	$1{,}999$	?	$2{,}001$	$2{,}01$	$2{,}1$

Wartości skupiają się wokół $2$ z obu stron. Wyjaśnia to przekształcenie algebraiczne: dla $x\ne 1$

$$ \frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\;\xrightarrow{x\to1}\;2. $$

Granica „widzi” wartość, do której zmierza wykres, niezależnie od tego, że w samym punkcie funkcja nie istnieje. Zapisujemy $\lim_{x\to1}f(x)=2$.

Granica funkcji z dziurą w punkcie x=1 — Funkcja $\tfrac{x^2-1}{x-1}$ pokrywa się z prostą $x+1$, lecz ma dziurę w $x=1$. Granica wynosi $2$ — wartość, do której zmierzają obie gałęzie wykresu — mimo że funkcja w tym punkcie nie jest określona.

Definicja

Granica funkcji (definicja Cauchy'ego, ε–δ)

Liczba $g$ jest granicą funkcji $f$ w punkcie $x_0$, co zapisujemy $\lim_{x\to x_0}f(x)=g$, jeżeli dla każdego $\varepsilon\gt 0$ istnieje $\delta\gt 0$ takie, że

$$ 0\lt|x-x_0|\lt\delta \;\Longrightarrow\; |f(x)-g|\lt\varepsilon. $$

Słownie: jakkolwiek wąski pas $[g-\varepsilon,\,g+\varepsilon]$ wokół granicy wybierzemy, istnieje otoczenie punktu $x_0$, w którym cały wykres mieści się w tym pasie. Warunek $0\lt|x-x_0|$ wyklucza sam punkt $x_0$ — granica nie zależy od wartości w nim.

Definicja epsilon-delta granicy — Definicja ε–δ. Dla dowolnie wąskiego pasa $[g-\varepsilon,\,g+\varepsilon]$ wokół granicy istnieje przedział $[x_0-\delta,\,x_0+\delta]$ taki, że wykres na tym przedziale (poza samym $x_0$) mieści się w pasie. Im węższy pas, tym węższe otoczenie.

Definicja Heinego (ciągowa) i jej równoważność.

Istnieje druga, równoważna definicja granicy, sformułowana przez Heinricha Heinego: $\lim_{x\to x_0}f(x)=g$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu argumentów $x_n\to x_0$ (przy $x_n\ne x_0$) ciąg wartości spełnia $f(x_n)\to g$. Definicja ta jest wygodna do wykazywania, że granica nie istnieje: wystarczy wskazać dwa ciągi argumentów dążące do $x_0$, dla których wartości dążą do różnych liczb.

Prawa rachunku granic

Granice zachowują się zgodnie z działaniami arytmetycznymi, co pozwala obliczać je bez powracania za każdym razem do definicji.

Twierdzenie

Prawa granic

Jeżeli granice $\lim f(x)$ oraz $\lim g(x)$ (w tym samym punkcie) istnieją i są skończone, to

$$ \lim(f+g)=\lim f+\lim g,\qquad \lim(f\cdot g)=\lim f\cdot\lim g, $$

$$ \lim\frac{f}{g}=\frac{\lim f}{\lim g}\;(\text{gdy }\lim g\ne 0),\qquad \lim(c\cdot f)=c\cdot\lim f. $$

Wzory te wynikają wprost z definicji $\varepsilon$–$\delta$. Dla sumy, jeśli $f$ trzyma się w odległości $\tfrac{\varepsilon}{2}$ od swojej granicy, a $g$ w odległości $\tfrac{\varepsilon}{2}$ od swojej, to z nierówności trójkąta $f+g$ trzyma się w odległości $\varepsilon$ od sumy granic. Analogiczne, choć nieco dłuższe, rachunki dają pozostałe wzory.

Symbole nieoznaczone

Bezpośrednie podstawienie prowadzi czasem do wyrażeń nieokreślonych: $\tfrac{0}{0}$, $\tfrac{\infty}{\infty}$, $\infty-\infty$, $0\cdot\infty$. Nie mają one z góry ustalonej wartości — wynik zależy od konkretnych funkcji i wymaga przekształcenia (upraszczania, podstawienia lub reguły de l’Hospitala, którą wprowadzamy przy pochodnych). Przykład $\tfrac{x^2-1}{x-1}$ powyżej był właśnie symbolem $\tfrac{0}{0}$ rozwiązanym przez skrócenie.

Twierdzenie o trzech funkcjach

Jednym z najskuteczniejszych narzędzi wyznaczania granic jest zamknięcie funkcji między dwiema innymi o znanej, wspólnej granicy.

Twierdzenie

Twierdzenie o trzech funkcjach

Jeżeli w pewnym otoczeniu punktu $x_0$ (poza nim samym) zachodzi

$$ g(x)\le f(x)\le h(x), $$

oraz $\lim_{x\to x_0}g(x)=\lim_{x\to x_0}h(x)=L$, to również $\lim_{x\to x_0}f(x)=L$.

Dowód

Zamknięcie w pasie

Ustalenie pasa. Niech $\varepsilon\gt 0$. Z założenia istnieją $\delta_1,\delta_2$ takie, że dla $0\lt|x-x_0|\lt\delta_1$ jest $|g(x)-L|\lt\varepsilon$, a dla $0\lt|x-x_0|\lt\delta_2$ jest $|h(x)-L|\lt\varepsilon$.
Wspólne otoczenie. Biorąc $\delta=\min(\delta_1,\delta_2)$, dla $0\lt|x-x_0|\lt\delta$ mamy jednocześnie $L-\varepsilon\lt g(x)$ oraz $h(x)\lt L+\varepsilon$.
Wniosek z nierówności. Ponieważ $g(x)\le f(x)\le h(x)$, otrzymujemy $L-\varepsilon\lt f(x)\lt L+\varepsilon$, czyli $|f(x)-L|\lt\varepsilon$. Z dowolności $\varepsilon$ wynika $\lim_{x\to x_0}f(x)=L$. $\;$

∎

Funkcja zamknięta między dwiema obwiedniami dążącymi do zera — Twierdzenie o trzech funkcjach w działaniu: funkcja $x^2\sin\tfrac1x$ oscyluje nieskończenie często przy zerze, lecz jest zamknięta między $-x^2$ a $x^2$. Obie obwiednie dążą do $0$, więc funkcja środkowa również ma w zerze granicę $0$.

Granica $\dfrac{\sin x}{x}$

Klasycznym zastosowaniem twierdzenia o trzech funkcjach jest fundamentalna granica

$$ \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. $$

Z porównania pól wycinka koła i dwóch trójkątów otrzymuje się dla małych $x\gt 0$ nierówności $\cos x\le\tfrac{\sin x}{x}\le 1$. Ponieważ $\cos x\to 1$ przy $x\to0$, funkcja środkowa jest zamknięta między dwiema dążącymi do $1$ — stąd granica równa $1$. Wyrażenie jest symbolem $\tfrac{0}{0}$, a jego wartość $1$ leży u podstaw pochodnej funkcji sinus.

Funkcja sin x przez x dążąca do jedności w zerze — Funkcja $\tfrac{\sin x}{x}$ jest nieokreślona w $x=0$ (otwarte kółko), lecz obie gałęzie zmierzają do tej samej wysokości $1$. Granica wynosi $1$.

Granice w nieskończoności

Granice w nieskończoności opisują zachowanie długookresowe funkcji — co dzieje się z wartościami, gdy argument rośnie nieograniczenie.

Najprostszy przykład to $\lim_{x\to\infty}\tfrac1x=0$: wartości maleją coraz wolniej, zbliżając się do osi poziomej, lecz nigdy jej nie osiągając. Prostą $y=0$ nazywamy asymptotą poziomą.

Granica jeden przez x w nieskończoności dąży do zera — Granica w nieskończoności: $\tfrac1x$ maleje coraz wolniej i zbliża się do asymptoty poziomej $y=0$, której nigdy nie osiąga.

W przypadku funkcji wymiernej granicę w nieskończoności wyznacza stosunek wyrazów najwyższego stopnia. Dla $f(x)=\tfrac{2x^2+1}{x^2+3}$ dzielimy licznik i mianownik przez $x^2$:

$$ \frac{2x^2+1}{x^2+3}=\frac{2+\tfrac{1}{x^2}}{1+\tfrac{3}{x^2}}\;\xrightarrow{x\to\infty}\;\frac{2+0}{1+0}=2. $$

Funkcja wymierna dążąca do asymptoty poziomej y=2 — Funkcja wymierna $\tfrac{2x^2+1}{x^2+3}$ dąży w obie strony do asymptoty poziomej $y=2$ — stosunku współczynników przy najwyższej potędze.

Liczba $e$ i kapitalizacja ciągła

Szczególnie ważna jest granica definiująca liczbę Eulera:

$$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\approx 2{,}718. $$

Wyrażenie ma postać nieoznaczoną typu $1^\infty$: podstawa dąży do $1$, lecz wykładnik rośnie nieograniczenie, a obie tendencje równoważą się, dając skończoną granicę.

Zbieżność do liczby e — Ciąg $\big(1+\tfrac1n\big)^n$ zbiega do liczby Eulera $e\approx 2{,}718$. Coraz częstsza kapitalizacja odsetek prowadzi w granicy do kapitalizacji ciągłej.

Przykład

Kapitalizacja ciągła

Kapitał $K_0$ przy rocznej stopie $r$, kapitalizowanej $n$ razy w roku, po roku wynosi $K_0\big(1+\tfrac{r}{n}\big)^n$. Przy kapitalizacji ciągłej ($n\to\infty$) podstawienie $m=\tfrac{n}{r}$ daje

$$ \lim_{n\to\infty}K_0\Big(1+\frac{r}{n}\Big)^n=K_0\lim_{m\to\infty}\Big(1+\frac{1}{m}\Big)^{mr}=K_0\,e^{r}. $$

Liczba $e$ pojawia się więc naturalnie w finansach jako granica nieograniczonego zagęszczania kapitalizacji.

Granice jednostronne

Niekiedy funkcja zbliża się do różnych wartości, gdy argument dąży do $x_0$ z lewej i z prawej strony. Definiujemy wtedy granice jednostronne $\lim_{x\to x_0^-}f(x)$ oraz $\lim_{x\to x_0^+}f(x)$.

Twierdzenie

Związek granicy z granicami jednostronnymi

Granica (obustronna) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy obie granice jednostronne istnieją i są sobie równe:

$$ \lim_{x\to x_0}f(x)=g \iff \lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=g. $$

Typowym przykładem rozbieżności granic jednostronnych jest funkcja schodkowa — model progu podatkowego czy opłaty progowej. W punkcie skoku granica z lewej jest niższa od granicy z prawej, więc granica obustronna nie istnieje.

Granice jednostronne — skok funkcji — W punkcie skoku granica z lewej i granica z prawej są różne, więc granica obustronna nie istnieje. Tak zachowują się progi podatkowe oraz opłaty progowe.

Ciągłość funkcji

Ciągłość to własność funkcji, której wykres można narysować „bez odrywania ołówka”. Formalnie sprowadza się ona do zgodności wartości z granicą.

Definicja

Ciągłość w punkcie

Funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0$, jeżeli spełnione są trzy warunki:

$$ \text{(1) }f(x_0)\text{ jest określona},\qquad \text{(2) }\lim_{x\to x_0}f(x)\text{ istnieje},\qquad \text{(3) }\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). $$

Funkcję ciągłą w każdym punkcie pewnego zbioru nazywamy ciągłą na tym zbiorze.

Rodzaje nieciągłości

Złamanie któregokolwiek z trzech warunków daje nieciągłość. Wyróżniamy trzy podstawowe rodzaje:

usuwalna — granica istnieje, lecz wartość w punkcie jest inna lub nieokreślona („dziura” w wykresie);
skokowa — granice jednostronne istnieją, ale są różne (skok wartości; np. progi podatkowe);
nieskończona — funkcja dąży do $\pm\infty$, pojawia się asymptota pionowa (np. koszt rosnący do nieskończoności przy ograniczeniu mocy produkcyjnej).

Trzy rodzaje nieciągłości funkcji — Trzy rodzaje nieciągłości: usuwalna (pojedyncza „dziura” — granica istnieje, lecz nie równa się wartości), skokowa (granice jednostronne różne) oraz nieskończona (funkcja ucieka do $\pm\infty$ przy asymptocie pionowej).

Twierdzenie o wartości pośredniej

Ciągłość ma głębokie konsekwencje. Najważniejszą jest gwarancja, że funkcja ciągła nie może „przeskoczyć” żadnej wartości pośredniej.

Twierdzenie

Twierdzenie o wartości pośredniej (Bolzano)

Jeżeli funkcja $f$ jest ciągła na przedziale $[a,b]$ oraz $f(a)\lt 0\lt f(b)$, to istnieje punkt $c\in(a,b)$ taki, że $f(c)=0$. Ogólniej: funkcja ciągła przyjmuje każdą wartość pośrednią między $f(a)$ a $f(b)$.

W ekonomii twierdzenie to gwarantuje istnienie ceny równowagi: jeżeli nadwyżka popytu jest dodatnia przy niskiej cenie i ujemna przy wysokiej, a zmienia się w sposób ciągły, to istnieje cena, przy której nadwyżka wynosi zero — rynek się równoważy.

Twierdzenie o wartości pośredniej i cena równowagi — Twierdzenie o wartości pośredniej: funkcja ciągła, która przechodzi od wartości ujemnej $f(a)$ do dodatniej $f(b)$, musi po drodze przeciąć zero. To gwarantuje istnienie ceny równowagi, gdy nadwyżka popytu zmienia znak.

Granice i ciągłość funkcji wielu zmiennych

Dla funkcji jednej zmiennej granica istnieje, gdy obie strony — z lewej i z prawej — dają tę samą wartość; możliwe drogi dojścia do punktu są tylko dwie. Dla funkcji $z=f(x,y)$ sytuacja jest istotnie bogatsza: do punktu $(0,0)$ można dojść nieskończenie wieloma drogami — wzdłuż osi, wzdłuż dowolnej prostej, wzdłuż paraboli — i granica istnieje tylko wtedy, gdy każda droga prowadzi do tej samej wartości.

Wiele dróg dojścia do początku układu na płaszczyźnie — Do punktu $(0,0)$ na płaszczyźnie można dojść nieskończenie wieloma drogami: wzdłuż osi poziomej, osi pionowej, prostej $y=x$ czy paraboli $y=x^2$. Granica funkcji dwóch zmiennych istnieje tylko wtedy, gdy wszystkie te drogi dają jedną wartość.

Pokazuje to klasyczny kontrprzykład $z=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$. Wzdłuż osi ($x=0$ lub $y=0$) funkcja przyjmuje wartość $0$, lecz wzdłuż prostej $y=x$ otrzymujemy $\tfrac{x\cdot x}{x^2+x^2}=\tfrac12$. Dwie drogi dają dwie różne wartości, więc granica w $(0,0)$ nie istnieje, mimo że poza tym jednym punktem funkcja jest gładka.

Brak granicy funkcji dwóch zmiennych w punkcie (0,0) — Powierzchnia $z=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ skręca się przy początku układu: wartość zależy od kierunku dojścia do $(0,0)$, więc granica nie istnieje. Ciągłość funkcji wielu zmiennych jest subtelniejsza niż jednej zmiennej.

Dla porównania funkcja $z=e^{-(x^2+y^2)}$ jest ciągła wszędzie: jej powierzchnia nie ma żadnych dziur ani skoków, a wartość w każdym punkcie zgadza się z granicą niezależnie od drogi dojścia.

Ciągła powierzchnia w kształcie wzniesienia — Powierzchnia $z=e^{-(x^2+y^2)}$ jest ciągła w całej dziedzinie — gładkie wzniesienie bez dziur i skoków. Wartość w każdym punkcie równa się granicy, jakąkolwiek drogą do niego dojdziemy.

Ciągłość w przestrzeni $\mathbb{R}^n$ i czwarty wymiar.

Definicja $\varepsilon$–$\delta$ przenosi się na dowolny wymiar bez zmian: granica $\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}f(\mathbf{x})=g$ oznacza, że dla każdego $\varepsilon\gt 0$ istnieje $\delta\gt 0$ takie, że $f(\mathbf{x})$ leży w odległości mniejszej niż $\varepsilon$ od $g$, ilekroć odległość punktów $\mathbf{x}$ i $\mathbf{x}_0$ w $\mathbb{R}^n$ jest mniejsza niż $\delta$. Rośnie jedynie liczba dróg dojścia: w $\mathbb{R}^2$ dochodzimy do punktu z nieskończenie wielu kierunków, w $\mathbb{R}^3$ — z całej kuli kierunków, w $\mathbb{R}^4$ i wyżej — z bryły kierunków, której nie da się narysować. Czterowymiarową granicę można oglądać „warstwa po warstwie”, ustalając czwartą współrzędną i badając ciągłość każdego trójwymiarowego przekroju. Funkcja jest ciągła, gdy wszystkie te drogi i wszystkie te warstwy zgadzają się ze sobą.

Znaczenie dla ekonomii i ekonometrii

Granice definiują pochodną — koszt i przychód krańcowy — oraz całkę jako sumę nieskończenie wielu składników.
Ciągłość funkcji popytu i podaży gwarantuje (przez twierdzenie o wartości pośredniej) istnienie ceny równowagi.
Granice w nieskończoności opisują analizę długookresową i wartość bieżącą renty wieczystej.
Nieciągłości modelują progi podatkowe, skoki cenowe i decyzje typu „tak/nie”.

Zastosowanie — studium przypadku: kapitalizacja ciągła

Granice mają bezpośrednie zastosowanie w finansach. Bank oferuje lokatę o nominalnej stopie rocznej $r$, kapitalizowaną $n$ razy w roku. Po roku kapitał $1$ zł rośnie do $\big(1+\tfrac{r}{n}\big)^n$. Pytanie brzmi: co się dzieje, gdy kapitalizacja jest coraz częstsza — co miesiąc, co dzień, co sekundę?

Odpowiedź to granica. Przyjmując dla uproszczenia $r=1$ (stopa $100\%$), obserwujemy ciąg

$$ n=1:\;2{,}00,\quad n=2:\;2{,}25,\quad n=4:\;2{,}44,\quad n=12:\;2{,}61,\quad \dots\;\longrightarrow\; e\approx 2{,}718. $$

Wartość nie rośnie nieograniczenie — zbiega do liczby Eulera. Dla dowolnej stopy $r$ analogiczna granica daje kapitalizację ciągłą: $\lim_{n\to\infty}\big(1+\tfrac{r}{n}\big)^n=e^r$. Kapitał $K_0$ po czasie $t$ wynosi więc $K_0 e^{rt}$ — wzór, na którym opiera się wycena instrumentów finansowych i modele wzrostu.

Zbieżność współczynnika kapitalizacji do liczby e — Wartość $(1+\tfrac1n)^n$ przy coraz częstszej kapitalizacji ($r=100\%$). Mimo rosnącej częstości wynik nie ucieka do nieskończoności, lecz zbiega do liczby Eulera $e\approx 2{,}718$ — granica wyznacza kapitalizację ciągłą.

Studium to pokazuje, że granica nie jest abstrakcją: różnica między kapitalizacją miesięczną a ciągłą to konkretna kwota, a jej wyznaczenie wymaga właśnie przejścia granicznego.

Literatura

Podręczniki polskie

G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I, PWN.
K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN.
W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t. I, PWN.

Klasyki światowe

W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976.
T. M. Apostol, Mathematical Analysis, Addison-Wesley, 1974.

Artykuły i źródła historyczne

J. V. Grabiner, Who gave you the epsilon? Cauchy and the origins of rigorous calculus, The American Mathematical Monthly 90 (1983), 185–194. DOI: 10.2307/2975545.

Definicja

Hasła w słowniku

Pojęcia z tego rozdziału znajdziesz w słowniku: granica, ciągłość, granica jednostronna, asymptota, liczba e, twierdzenie o wartości pośredniej.

Podsumowanie

Granica formalizuje intuicję „zbliżania się” — od paradoksów Zenona, przez nieskończenie małe Newtona i Leibniza, po ścisły język $\varepsilon$–$\delta$ Cauchy’ego i Weierstrassa. Granica ciągu, granica funkcji, prawa rachunku granic, twierdzenie o trzech funkcjach i pojęcie ciągłości tworzą fundament, na którym opierają się pochodne, całki i cała analiza funkcji wielu zmiennych w $\mathbb{R}^n$.

Następnie: Pochodne — tempo zmian