Funkcje i ich własności

Definicja funkcji

Funkcja to relacja między dwiema zmiennymi, gdzie każdemu wejściu (argument) przypisane jest dokładnie jedno wyjście.

Zapisujemy to: f(x) = y

Gdzie:

• x — zmienna niezależna (wejście)
• y — zmienna zależna (wyjście)
• f — reguła transformacji

Przykłady

1. Funkcja liniowa: f(x) = 2x + 3
2. Funkcja kwadratowa: f(x) = x²
3. Funkcja wykładnicza: f(x) = e^x

Dziedzina i przeciwdziedzina

• Dziedzina (Domain): zbiór wszystkich możliwych wartości x
• Przeciwdziedzina (Range): zbiór wszystkich możliwych wartości y

Własności funkcji

Monotoniczność

• Rosnąca: jeśli x₁ < x₂, to f(x₁) < f(x₂)
• Malejąca: jeśli x₁ < x₂, to f(x₁) > f(x₂)

Parzystość

• Parzysta: f(-x) = f(x)
• Nieparzysta: f(-x) = -f(x)

Złożenie funkcji

Jeśli mamy dwie funkcje f i g, to złożenie zapisujemy: (f ∘ g)(x) = f(g(x))

Najpierw wykonujemy g(x), potem f na wyniku.

Funkcja odwrotna

Funkcja odwrotna f⁻¹ “cofnęła” działanie f.

Jeśli f(a) = b, to f⁻¹(b) = a

Do zapamiętania

Funkcja to przepis matematyczny. Zrozumienie funkcji jest kluczowe dla całej analizy matematycznej i ekonometrii.

Następnie: Granice i ciągłość