Funkcje i ich własności

Funkcja jest jednym z najważniejszych pojęć całej matematyki, a zarazem fundamentem ekonometrii, w której model jest funkcją wiążącą zmienne objaśniające ze zmienną objaśnianą. Niniejszy rozdział rozpoczyna się od genezy pojęcia, następnie buduje je od podstaw — od ogólnej relacji do funkcji w sensie ścisłym — i prowadzi czytelnika przez pełny katalog funkcji elementarnych, ich własności, przekształcenia oraz uogólnienie na funkcje wielu zmiennych i przestrzeń $\mathbb{R}^n$. Konsekwentnie stosujemy zasadę: każde pojęcie i każdy przykład otrzymuje osobny rysunek.

Geneza pojęcia funkcji

Pojęcie funkcji nie pojawiło się w gotowej postaci; kształtowało się przez kilka stuleci wraz z rozwojem rozumienia zależności między zmieniającymi się wielkościami.

Pierwszym istotnym krokiem były czternastowieczne prace Mikołaja Oresme’a, który wielkość zmienną w czasie (np. prędkość) przedstawiał jako wysokość odcinka wzniesionego nad osią czasu. Tak powstał zalążek wykresu: zależność jednej wielkości od drugiej staje się figurą geometryczną, a pole pod nią — wielkością skumulowaną (drogą). Jest to bezpośredni poprzednik dzisiejszego wykresu funkcji i całki oznaczonej.

Termin functio wprowadził Gottfried Wilhelm Leibniz na przełomie XVII i XVIII wieku, początkowo dla wielkości związanych z krzywą. Współczesny zapis $y=f(x)$ pochodzi od Leonharda Eulera (XVIII w.), który funkcję rozumiał jako wyrażenie analityczne — wzór. Dopiero w XIX wieku Peter Gustav Lejeune Dirichlet uwolnił pojęcie od konieczności posiadania wzoru: funkcja to dowolne jednoznaczne przyporządkowanie, niezależnie od tego, czy potrafimy je zapisać prostą formułą. Ta ogólna definicja obowiązuje do dziś i od niej rozpoczynamy systematyczny wykład.

Od relacji do funkcji

Aby zdefiniować funkcję w sposób ścisły, rozpoczynamy od pojęcia ogólniejszego — relacji. Mając dwa zbiory $X$ i $Y$, dowolny zbiór par uporządkowanych $(x,y)$, gdzie $x\in X$ oraz $y\in Y$, nazywamy relacją między $X$ a $Y$. Relacja wiąże elementy obu zbiorów, lecz nie nakłada żadnych ograniczeń: jeden element $x$ może być w parze z wieloma elementami $y$ albo z żadnym.

Funkcja jest szczególnym przypadkiem relacji — takim, w którym przyporządkowanie jest jednoznaczne i wszędzie określone.

Dwa warunki w definicji są równie ważne. Słowo „każdemu” oznacza, że reguła musi być określona dla wszystkich argumentów dziedziny. Słowa „dokładnie jeden” wykluczają sytuację, w której jednemu argumentowi odpowiadają dwie różne wartości. To właśnie ten drugi warunek odróżnia funkcję od dowolnej relacji.

Wykres funkcji i test prostej pionowej

Wykresem funkcji $f$ nazywamy zbiór wszystkich par $(x,f(x))$ przedstawionych jako punkty płaszczyzny. Warunek jednoznaczności ma czytelną interpretację geometryczną: jeżeli pewnej wartości $x$ odpowiadałyby dwie wartości, leżałyby one jedna nad drugą — na tej samej prostej pionowej. Stąd prosty sprawdzian.

Test prostej pionowej.

Krzywa na płaszczyźnie jest wykresem pewnej funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy każda prosta pionowa przecina ją co najwyżej raz. Dwa przecięcia oznaczałyby dwie wartości dla jednego argumentu.

Wartość funkcji — obliczanie

Obliczenie wartości funkcji polega na wstawieniu liczby w miejsce argumentu. Rozważmy $f(x)=2x+3$. Wówczas

$$ f(0)=2\cdot 0+3=3,\qquad f(1)=2\cdot 1+3=5,\qquad f(-2)=2\cdot(-2)+3=-1. $$

Wykres pozwala te wartości odczytać: argument wybieramy na osi poziomej, a wartość czytamy na osi pionowej nad nim.

Dziedzina i przeciwdziedzina

W praktyce dziedziną nie jest zwykle abstrakcyjny zbiór $X$, lecz zbiór wszystkich argumentów, dla których wzór ma sens — nazywamy go dziedziną naturalną.

• Dziedzina ($D_f$) — zbiór dozwolonych argumentów $x$.
• Zbiór wartości ($ZW_f$) — zbiór wszystkich rzeczywiście otrzymywanych wartości $y$.

Trzy reguły wyznaczają większość ograniczeń dziedziny:

• $f(x)=\dfrac{1}{x}$ wymaga $x\ne 0$ (nie dzielimy przez zero);
• $f(x)=\sqrt{x}$ wymaga $x\ge 0$ (nie pierwiastkujemy liczb ujemnych w liczbach rzeczywistych);
• $f(x)=\ln x$ wymaga $x\gt 0$ (logarytm istnieje tylko dla argumentów dodatnich).

Rozważmy przykład łączący dwa warunki: $f(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-3}$. Pierwiastek wymaga $x-1\ge 0$, czyli $x\ge 1$; mianownik wymaga $x\ne 3$. Stąd $D_f=[1,3)\cup(3,\infty)$.

Katalog funkcji elementarnych

Funkcje elementarne to składniki, z których buduje się modele. Poniżej omawiamy je kolejno, wyprowadzając kluczowe własności i ilustrując każdą osobnym rysunkiem.

Funkcja liniowa

Funkcja liniowa ma postać $f(x)=ax+b$. Współczynnik $a$ to nachylenie: gdy argument wzrasta o $1$, wartość zmienia się o $a$. Liczba $b$ to wyraz wolny — wartość w punkcie $x=0$, czyli rzędna przecięcia z osią pionową.

Wyprowadźmy znaczenie nachylenia. Dla dwóch argumentów $x_1\ne x_2$

$$ \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{(ax_2+b)-(ax_1+b)}{x_2-x_1}=\frac{a(x_2-x_1)}{x_2-x_1}=a. $$

Iloraz przyrostu wartości do przyrostu argumentu jest stały i równy $a$ — to definicyjna cecha funkcji liniowej i zalążek pojęcia pochodnej.

Wielomiany

Wielomian to suma potęg argumentu: $f(x)=a_n x^n+\dots+a_1 x+a_0$. Liczbę $n$ (najwyższą potęgę o niezerowym współczynniku) nazywamy stopniem. Im wyższy stopień, tym więcej wygięć może mieć wykres. Potęgi parzyste ($x^2,x^4$) dają wykresy symetryczne względem osi pionowej; nieparzyste ($x^3$) — symetryczne względem początku układu.

Rozważmy wielomian kwadratowy $f(x)=x^2-4x+3$. Miejsca zerowe znajdujemy, rozwiązując $x^2-4x+3=0$; rozkład na czynniki $(x-1)(x-3)=0$ daje $x=1$ oraz $x=3$. Współrzędna wierzchołka paraboli to $x_w=-\tfrac{b}{2a}=\tfrac{4}{2}=2$, a wartość w nim $f(2)=4-8+3=-1$. Otrzymujemy komplet informacji o kształcie.

Funkcja wymierna

Funkcja wymierna to iloraz dwóch wielomianów. Najprostszym przykładem jest hiperbola $f(x)=\dfrac{1}{x}$. W punkcie $x=0$ funkcja jest nieokreślona, a w jego pobliżu wartości rosną nieograniczenie co do modułu — prostą $x=0$ nazywamy asymptotą pionową. Gdy $x$ rośnie nieograniczenie, wartości dążą do zera — oś pozioma jest asymptotą poziomą.

Pierwiastek i wartość bezwzględna

Funkcja $f(x)=\sqrt{x}$ jest określona tylko dla $x\ge 0$ i rośnie coraz wolniej — jest to odwrotność funkcji $x^2$ obciętej do argumentów nieujemnych. Funkcja $f(x)=|x|$ przyjmuje wartość $x$ dla $x\ge 0$ oraz $-x$ dla $x\lt 0$, co daje charakterystyczny kształt litery „V” z wierzchołkiem w zerze.

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Funkcja wykładnicza $f(x)=a^x$ (dla podstawy $a\gt 0$, $a\ne 1$) rośnie tym szybciej, im większa podstawa, i nigdy nie przyjmuje wartości ujemnych. Szczególną rolę odgrywa podstawa $e\approx 2{,}718$, dla której tempo wzrostu jest w każdym punkcie równe wartości funkcji.

Logarytm definiujemy jako funkcję odwrotną do wykładniczej: $\log_a y$ to wykładnik, do którego należy podnieść $a$, by otrzymać $y$. Stąd równoważność

$$ y=a^x \quad\Longleftrightarrow\quad x=\log_a y. $$

Logarytm naturalny $\ln x=\log_e x$ istnieje tylko dla $x\gt 0$ i rośnie bardzo wolno. Obie funkcje są filarem modeli wzrostu oraz rozkładu normalnego.

Funkcje trygonometryczne

Funkcje $\sin x$ i $\cos x$ są okresowe o okresie $2\pi$ i przyjmują wartości w przedziale $[-1,1]$. Powstają jako współrzędne punktu poruszającego się po okręgu jednostkowym, stąd ich powtarzalny, falowy charakter. Funkcja $\tan x=\tfrac{\sin x}{\cos x}$ ma asymptoty pionowe tam, gdzie cosinus się zeruje.

Własności funkcji

Poniższe własności pozwalają opisać zachowanie funkcji niezależnie od jej wzoru i są podstawą analizy modeli.

Monotoniczność

Funkcja jest rosnąca, gdy zachowuje porządek argumentów, i malejąca, gdy go odwraca:

• rosnąca: jeżeli $x_1 \lt x_2$, to $f(x_1) \lt f(x_2)$;
• malejąca: jeżeli $x_1 \lt x_2$, to $f(x_1) \gt f(x_2)$.

Ekstrema

Maksimum i minimum to punkty, w których funkcja osiąga lokalnie wartość największą lub najmniejszą. Rozróżniamy ekstrema lokalne (najwyżej lub najniżej w pewnym otoczeniu) oraz globalne (w całej dziedzinie). Pojęcie to jest kluczowe dla metody najmniejszych kwadratów, która poszukuje minimum sumy kwadratów reszt.

Parzystość

• Parzysta: $f(-x)=f(x)$ — symetria względem osi pionowej (np. $x^2$).
• Nieparzysta: $f(-x)=-f(x)$ — symetria względem początku układu (np. $x^3$).

Okresowość

Funkcja jest okresowa, gdy jej wykres powtarza się co stały odcinek $T$ (okres): $f(x+T)=f(x)$ dla wszystkich $x$. Klasycznym przykładem jest sinus o okresie $2\pi$ — podstawa modeli sezonowości w szeregach czasowych.

Wypukłość i wklęsłość

• Wypukła: cięciwa łącząca dwa punkty wykresu leży nad wykresem (np. $x^2$).
• Wklęsła: cięciwa leży pod wykresem (np. $-x^2$, $\ln x$).

Wypukłość rozstrzyga, czy punkt zerowania pochodnej jest minimum, czy maksimum, i gwarantuje jednoznaczność rozwiązania w zadaniach optymalizacji — co czyni ją pojęciem centralnym dla estymacji.

Asymptoty

Asymptota to prosta, do której wykres zbliża się nieograniczenie. Bywa pionowa (funkcja dąży do $\pm\infty$), pozioma lub ukośna.

Przekształcenia wykresów

Znając wykres funkcji $f$, można bezpośrednio narysować całą rodzinę funkcji pochodnych przez przesunięcia i odbicia.

Przesunięcia. Dodanie stałej do wartości, $f(x)+a$, przesuwa wykres w pionie; podstawienie $f(x-a)$ przesuwa go w poziomie o $a$ w prawo (dla $a\gt 0$).

Odbicia. Zmiana znaku wartości, $-f(x)$, odbija wykres względem osi poziomej; zmiana znaku argumentu, $f(-x)$, odbija go względem osi pionowej.

Złożenie funkcji

Mając dwie funkcje $f$ i $g$, ich złożeniem nazywamy funkcję $(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)$: najpierw działa $g$, a na jej wynik działa $f$. Aby złożenie miało sens, wartości $g$ muszą należeć do dziedziny $f$.

Funkcja odwrotna

Funkcja odwrotna $f^{-1}$ odwraca działanie $f$: jeżeli $f(a)=b$, to $f^{-1}(b)=a$. Geometrycznie wykres funkcji odwrotnej jest odbiciem wykresu $f$ względem prostej $y=x$, ponieważ zamiana ról argumentu i wartości to właśnie zamiana współrzędnych.

Warunek istnienia funkcji odwrotnej.

Funkcję można odwrócić tylko wtedy, gdy jest różnowartościowa (iniekcją) — różnym argumentom odpowiadają różne wartości. W przeciwnym razie przyporządkowanie odwrotne nie byłoby jednoznaczne.

Iniekcja, surjekcja, bijekcja

• Iniekcja (różnowartościowość): różnym argumentom odpowiadają różne wartości.
• Surjekcja („na”): każda wartość przeciwdziedziny jest osiągana przez pewien argument.
• Bijekcja: jednocześnie iniekcja i surjekcja — idealne parowanie 1–1. Dopiero bijekcja gwarantuje istnienie funkcji odwrotnej na całej przeciwdziedzinie.

Funkcje wielu zmiennych (3D)

Dotąd funkcja miała jedno wejście. W ekonometrii niemal zawsze jest ich wiele: funkcja $z=f(x,y)$ przypisuje parze liczb $(x,y)$ jedną wartość $z$, co geometrycznie daje powierzchnię w przestrzeni trójwymiarowej. Jest to naturalny język regresji wielorakiej, funkcji produkcji i funkcji użyteczności.

Paraboloida i siodło

Powierzchnia $z=x^2+y^2$ to paraboloida — „miska” z jednym minimum w środku, dokładnie taka jak suma kwadratów reszt w MNK. Powierzchnia $z=x^2-y^2$ to siodło: w jednym kierunku rośnie, w drugim maleje, więc jej środek nie jest ani minimum, ani maksimum.

Poziomice — most między 3D a 2D

Powierzchnię trójwymiarową można przedstawić na płaszczyźnie za pomocą poziomic: krzywych, wzdłuż których funkcja przyjmuje stałą wartość, $f(x,y)=c$. Jest to ta sama zasada, według której rysuje się mapy ukształtowania terenu. Dla paraboloidy $z=x^2+y^2$ poziomice $x^2+y^2=c$ to okręgi o promieniu $\sqrt{c}$ — im wyżej na misce, tym większy okrąg.

Fala i dzwon dwuwymiarowy

Powierzchnia $z=\sin x\,\cos y$ tworzy regularną falę, a $z=e^{-(x^2+y^2)/2}$ to dwuwymiarowy dzwon Gaussa — wykres gęstości wielowymiarowego rozkładu normalnego.

Płaszczyzna regresji i funkcja Cobba-Douglasa

Dwie powierzchnie łączą matematykę z ekonomią. Płaszczyzna $z=\beta_0+\beta_1 x+\beta_2 y$ to model regresji z dwiema zmiennymi objaśniającymi — MNK dopasowuje ją tak, by leżała najbliżej chmury obserwacji. Funkcja produkcji Cobba-Douglasa $z=x^{\alpha}y^{\beta}$ opisuje, jak nakłady (np. praca i kapitał) przekładają się na wielkość produkcji.

Idea czwartego wymiaru i przestrzeń $\mathbb{R}^n$

Funkcja $z=f(x,y)$ żyje w przestrzeni trójwymiarowej, którą można narysować wprost. Co jednak, gdy zmiennych objaśniających jest trzy, cztery lub więcej? Formalnie nie napotykamy żadnej trudności: funkcja

$$ f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \qquad y=f(x_1,x_2,\dots,x_n), $$

przypisuje układowi $n$ liczb jedną wartość. Trudność jest wyłącznie wizualna — papier i ekran mają tylko dwa wymiary, a nasza wyobraźnia przestrzenna sięga trzech. Istnieją jednak sposoby, by ideę wyższych wymiarów uczynić namacalną.

Sposób pierwszy — przekroje (warstwa po warstwie). Obiekt czterowymiarowy można oglądać jako film: dla każdej wartości czwartej współrzędnej $t$ otrzymujemy trójwymiarowy przekrój, a kolejne przekroje układają się w sekwencję. Czterowymiarowa sfera $x^2+y^2+z^2+t^2=1$ pojawia się dla $t=-1$ jako punkt, narasta do pełnej kuli przy $t=0$ i znika przy $t=1$ — tak jak trójwymiarowa kula, przecinana płaszczyzną, daje rosnące i malejące koło.

Sposób drugi — rzut (cień). Tak jak trójwymiarowy sześcian rzuca na płaszczyznę dwuwymiarowy cień, tak czterowymiarowa kostka (tesserakt) rzuca cień trójwymiarowy. Na rysunku poniżej cień ten przedstawiamy jako „sześcian w sześcianie”: krawędzie łączące kostkę wewnętrzną z zewnętrzną odpowiadają przesunięciu wzdłuż czwartej osi. Wewnętrzny sześcian nie jest mniejszy „naprawdę” — wydaje się mniejszy, ponieważ jest dalej w kierunku, którego nie widzimy.

Uogólnienie na $\mathbb{R}^n$.

Pojęcia z jednej i dwóch zmiennych przenoszą się na dowolny wymiar bez zmiany istoty. Punkt $(x_1,\dots,x_n)$ to element $\mathbb{R}^n$; poziomica $f=c$ staje się hiperpowierzchnią; minimum funkcji odpowiada „najniższemu” punktowi $n$-wymiarowej miski. Reguły rachunku pozostają te same — zmienia się tylko liczba współrzędnych. To dlatego model regresji z wieloma zmiennymi, choć niewidoczny, podlega dokładnie tym samym prawom co linia i płaszczyzna.

Znaczenie dla ekonometrii.

Model ekonometryczny jest funkcją. Regresja prosta to linia, regresja z dwiema zmiennymi to płaszczyzna, a regresja z wieloma zmiennymi to hiperpowierzchnia w $\mathbb{R}^n$, której nie można narysować, lecz rządzą nią te same reguły. Zrozumienie funkcji — dziedziny, monotoniczności, wypukłości i ekstremów — jest warunkiem zrozumienia estymacji i optymalizacji.

Zastosowanie — studium przypadku: równowaga rynkowa

Klasycznym ekonomicznym zastosowaniem funkcji jest model równowagi rynkowej, w którym popyt i podaż są funkcjami ceny. Rozważmy rynek pewnego dobra opisany funkcją popytu $P_D=20-0{,}5Q$ (im niższa cena, tym większa ilość nabywana) oraz funkcją podaży $P_S=5+0{,}25Q$ (im wyższa cena, tym większa ilość oferowana), gdzie $Q$ to ilość w tysiącach sztuk, a $P$ — cena w złotych.

Punkt równowagi to argument, dla którego obie funkcje przyjmują tę samą wartość — geometrycznie przecięcie wykresów. Przyrównujemy:

$$ 20-0{,}5Q=5+0{,}25Q \;\Longrightarrow\; 15=0{,}75Q \;\Longrightarrow\; Q^\*=20,\qquad P^\*=20-0{,}5\cdot 20=10. $$

Rynek równoważy się przy cenie $10$ zł i ilości $20$ tys. sztuk. Jest to dokładnie zastosowanie twierdzenia o wartości pośredniej: nadwyżka popytu $P_D-P_S$ jest dodatnia przy niskich cenach i ujemna przy wysokich, a będąc funkcją ciągłą, musi gdzieś się wyzerować — i właśnie tam leży cena równowagi.

Ten prosty model pokazuje istotę myślenia ekonometrycznego: zjawiska gospodarcze zapisujemy jako funkcje, a ich własności (monotoniczność, miejsce przecięcia, nachylenie) niosą treść ekonomiczną — nachylenie funkcji popytu wiąże się z elastycznością cenową, a punkt przecięcia wyznacza stan, do którego rynek dąży.

Literatura

Podręczniki polskie

• W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t. I, PWN, Warszawa.
• G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I, PWN.
• M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. Definicje, twierdzenia, wzory, Oficyna GiS, Wrocław.

Klasyki światowe

• W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976.
• M. Spivak, Calculus, Publish or Perish, 2008.
• C. P. Simon, L. Blume, Mathematics for Economists, W. W. Norton, 1994.

Artykuły i źródła historyczne

• A. P. Youschkevitch, The concept of function up to the middle of the 19th century, Archive for History of Exact Sciences 16 (1976), 37–85. DOI: 10.1007/BF00348305.
• Khan Academy — Funkcje.

---

Podsumowanie

Funkcja to reguła przypisująca każdemu argumentowi dokładnie jedną wartość — pojęcie, które dojrzewało od wykresów Oresme’a do ogólnej definicji Dirichleta. Rozpoznawanie kształtów funkcji elementarnych, ich własności (monotoniczność, ekstrema, parzystość, okresowość, wypukłość, asymptoty), a także uogólnienie na wiele zmiennych i przestrzeń $\mathbb{R}^n$ stanowi fundament całej analizy matematycznej i ekonometrii.

Następnie: Granice i ciągłość