Całki — sumowanie nieskończenie wielu składników

Streszczenie

Całka wyłożona od podstaw: geneza (metoda wyczerpywania Archimedesa, problem pola, Newton i Leibniz), suma Riemanna z sumami dolną i górną, całka oznaczona jako pole, funkcja pierwotna i całka nieoznaczona, podstawowe twierdzenie rachunku całkowego z uzasadnieniem, całkowanie przez podstawienie i przez części (z interpretacją geometryczną), całki niewłaściwe, zastosowania ekonomiczne (koszt całkowity, nadwyżka konsumenta, wartość bieżąca), całki podwójne jako objętość w 3D oraz uogólnienie na ℝⁿ. Każde pojęcie i każdy przykład z osobnym rysunkiem.

Jeżeli pochodna mierzy tempo zmian, to całka mierzy akumulację — sumę nieskończenie wielu nieskończenie małych przyrostów. Geometrycznie jest to pole pod wykresem; w ekonomii — koszt całkowity zsumowany z kosztu krańcowego, nadwyżka konsumenta czy wartość bieżąca strumienia płatności. Niniejszy rozdział buduje pojęcie całki od historycznego problemu pola, przez sumę Riemanna i podstawowe twierdzenie rachunku całkowego, aż po całki niewłaściwe oraz całki wielokrotne w przestrzeni $\mathbb{R}^n$. Każde pojęcie i każdy przykład otrzymuje osobny rysunek.

Geneza pojęcia całki

Całka jest historycznie starsza od pochodnej. Już w III wieku przed naszą erą Archimedes wyznaczał pola figur krzywoliniowych metodą wyczerpywania: wpisywał w figurę coraz drobniejsze wielokąty (lub prostokąty), których łączne pole rosło i zbliżało się do pola figury. Tą drogą udowodnił, że pole odcinka paraboli wynosi dokładnie $\tfrac{4}{3}$ pola wpisanego w niego trójkąta — wynik, do którego dwa tysiąclecia później prowadzi jednolinijkowy rachunek całkowy.

Pole pod parabolą przybliżane wpisanymi prostokątami — Metoda wyczerpywania Archimedesa: pole pod parabolą $y=1-x^2$ przybliżamy sumą pól wpisanych prostokątów. Im drobniejszy podział, tym bliżej dokładnej wartości. To pierwowzór całki oznaczonej.

Metoda Archimedesa była genialna, lecz każdorazowo wymagała pomysłowości. Przełom nastąpił w XVII wieku, gdy Isaac Newton i Gottfried Wilhelm Leibniz odkryli, że pole pod wykresem i nachylenie stycznej to operacje wzajemnie odwrotne — co dziś nazywamy podstawowym twierdzeniem rachunku całkowego. Odtąd pole liczy się nie przez mozolne sumowanie, lecz przez odwrócenie różniczkowania. Ścisłą definicję samego pola podał w XIX wieku Bernhard Riemann, i od niej rozpoczynamy.

Suma Riemanna i całka oznaczona

Aby zdefiniować pole pod wykresem funkcji $f$ na przedziale $[a,b]$, dzielimy przedział na $n$ kawałków szerokości $\Delta x$, w każdym wybieramy punkt $x_i^*$ i przybliżamy pole sumą pól prostokątów o wysokościach $f(x_i^*)$.

Definicja

Całka oznaczona (Riemann)

Całką oznaczoną funkcji $f$ na przedziale $[a,b]$ nazywamy granicę sum Riemanna przy nieograniczonym zagęszczaniu podziału:

$$ \int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\,\Delta x, $$

o ile granica ta istnieje i nie zależy od sposobu podziału ani wyboru punktów $x_i^*$. Geometrycznie jest to pole zawarte między wykresem, osią poziomą oraz prostymi $x=a$ i $x=b$.

Całka jako pole pod wykresem funkcji — Całka oznaczona $\int_a^b f(x)\,dx$ to pole zawarte między wykresem funkcji, osią poziomą oraz pionowymi prostymi $x=a$ i $x=b$.

Istnienie granicy i jej niezależność od szczegółów podziału widać z zamknięcia pola między dwoma przybliżeniami. Suma dolna używa w każdym kawałku najmniejszej wartości funkcji (prostokąty mieszczą się pod wykresem), suma górna — największej (prostokąty wystają ponad). Pole rzeczywiste leży zawsze między nimi, a obie sumy zbiegają do wspólnej wartości, gdy podział się zagęszcza.

Suma dolna i górna zamykające pole pod wykresem — Suma dolna (po lewej) leży pod wykresem, suma górna (po prawej) — nad nim. Pole rzeczywiste jest między nimi. Przy zagęszczaniu podziału obie sumy zbiegają do wspólnej granicy — wartości całki.

Sumy Riemanna — przybliżanie pola prostokątami — Im więcej (węższych) prostokątów, tym dokładniejsze przybliżenie pola. Przy $n\to\infty$ suma Riemanna dąży do dokładnej wartości całki.

Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona

Liczenie granicy sum Riemanna za każdym razem byłoby uciążliwe. Klucz tkwi w pojęciu odwrotnym do pochodnej.

Definicja

Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona

Funkcją pierwotną funkcji $f$ nazywamy każdą funkcję $F$ taką, że $F'(x)=f(x)$. Jeżeli $F$ jest pierwotną, to $F+C$ (dla dowolnej stałej $C$) również, gdyż pochodna stałej wynosi zero. Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych zapisujemy jako całkę nieoznaczoną:

$$ \int f(x)\,dx=F(x)+C. $$

Stała $C$ nie jest dowolnym dodatkiem — odzwierciedla fakt, że pole zaczęte od różnych poziomów odniesienia różni się o stałą. Geometrycznie wszystkie funkcje pierwotne to rodzina krzywych przesuniętych pionowo, mających w każdym punkcie identyczne nachylenie $f(x)$.

Rodzina funkcji pierwotnych różniących się stałą — Funkcje pierwotne funkcji $2x$ to rodzina parabol $x^2+C$ różniących się jedynie przesunięciem pionowym. W każdym punkcie mają identyczne nachylenie, więc tę samą pochodną $2x$.

Twierdzenie

Podstawowe wzory całkowania

$$ \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\ne -1),\quad \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C,\quad \int e^x\,dx=e^x+C, $$

$$ \int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C,\quad \int\sin x\,dx=-\cos x+C,\quad \int\cos x\,dx=\sin x+C. $$

Każdy z tych wzorów jest po prostu odwróceniem odpowiedniej reguły różniczkowania.

Na przykład $\int x^3\,dx=\tfrac{x^4}{4}+C$, ponieważ $\big(\tfrac{x^4}{4}\big)'=x^3$.

Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego

Twierdzenie to spina ze sobą oba bieguny analizy — różniczkowanie i całkowanie — i czyni z nich operacje wzajemnie odwrotne.

Twierdzenie

Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego

Niech $f$ będzie ciągła na $[a,b]$. Wtedy:

(część I) funkcja pola $A(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ jest różniczkowalna i $A'(x)=f(x)$;

(część II) dla dowolnej funkcji pierwotnej $F$ (gdzie $F'=f$) zachodzi

$$ \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a). $$

Dowód

Część I: pochodna funkcji pola

Przyrost pola. Różnica $A(x+h)-A(x)$ to pole wąskiego paska nad przedziałem $[x,x+h]$.
Oszacowanie paska. Dla małego $h$ pasek jest niemal prostokątem o podstawie $h$ i wysokości $f(x)$, więc $A(x+h)-A(x)\approx f(x)\,h$. Ściślej, z ciągłości $f$ wysokość paska leży między kresami $f$ na $[x,x+h]$, które oba dążą do $f(x)$.
Iloraz różnicowy. Stąd $\dfrac{A(x+h)-A(x)}{h}\to f(x)$ przy $h\to 0$, czyli $A'(x)=f(x)$.
Wniosek (część II). Skoro $A$ i $F$ mają tę samą pochodną $f$, różnią się o stałą; przyrost $A(b)-A(a)=\int_a^b f$ jest więc równy $F(b)-F(a)$. $\;$

∎

Funkcja pola i wąski pasek ilustrujące podstawowe twierdzenie — Idea dowodu: funkcja pola $A(x)$ gromadzi pole od $a$ do $x$. Dorzucenie wąskiego paska szerokości $dx$ powiększa pole o około $f(x)\,dx$, więc tempo przyrostu pola wynosi $A'(x)=f(x)$ — całkowanie i różniczkowanie są operacjami odwrotnymi.

Dzięki temu twierdzeniu całkę oznaczoną liczymy bez sum Riemanna. Na przykład

$$ \int_0^3 x^2\,dx=\Big[\frac{x^3}{3}\Big]_0^3=\frac{27}{3}-0=9. $$

Metody całkowania

Całkowanie przez podstawienie

Metoda ta odwraca regułę łańcuchową. Jeżeli podcałkowe wyrażenie zawiera funkcję i jej pochodną, podstawiamy $u=g(x)$, skąd $du=g'(x)\,dx$.

Przykład

Podstawienie

W całce $\displaystyle\int 2x\,e^{x^2}\,dx$ przyjmujemy $u=x^2$, więc $du=2x\,dx$:

$$ \int 2x\,e^{x^2}\,dx=\int e^u\,du=e^u+C=e^{x^2}+C. $$

Dla wersji oznaczonej $\displaystyle\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,dx=\big[e^{x^2}\big]_0^1=e-1\approx 1{,}718$.

Pole pod wykresem funkcji podcałkowej przy podstawieniu — Całka $\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,dx$ to pole pod wykresem funkcji podcałkowej na $[0,1]$. Podstawienie $u=x^2$ sprowadza ją do elementarnej $\int e^u\,du$, dając wartość $e-1$.

Całkowanie przez części

Metoda ta odwraca regułę iloczynu. Z $(uv)'=u'v+uv'$ po scałkowaniu otrzymujemy

$$ \int u\,dv=uv-\int v\,du. $$

Stosujemy ją, gdy podcałkowe wyrażenie jest iloczynem funkcji różnych typów (np. wielomianu i funkcji wykładniczej).

Przykład

Przez części

W całce $\displaystyle\int x\,e^x\,dx$ przyjmujemy $u=x$ oraz $dv=e^x\,dx$, skąd $du=dx$ i $v=e^x$:

$$ \int x\,e^x\,dx=x e^x-\int e^x\,dx=x e^x-e^x+C=e^x(x-1)+C. $$

Pole prostokąta podzielone na dwie całki — całkowanie przez części — Geometryczny sens całkowania przez części. Dla rosnącej krzywej $v(u)$ pole prostokąta $uv$ rozpada się na dwie części: pole pod krzywą $\int v\,du$ oraz pole obok niej $\int u\,dv$. Stąd $\int u\,dv=uv-\int v\,du$.

Całki niewłaściwe

Całkę można rozszerzyć na przedziały nieskończone, traktując ją jako granicę. Zaskakująco, pole pod nieskończenie długim ogonem bywa skończone:

$$ \int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\Big[-\frac{1}{x}\Big]_1^b=\lim_{b\to\infty}\Big(1-\frac{1}{b}\Big)=1. $$

Ta zbieżność leży u podstaw wartości bieżącej renty wieczystej: nieskończony strumień malejących, zdyskontowanych płatności sumuje się do skończonej kwoty.

Skończone pole pod nieskończonym ogonem funkcji — Całka niewłaściwa $\int_1^{\infty}\tfrac{1}{x^2}\,dx$: mimo że obszar ciągnie się w nieskończoność, jego pole jest skończone i równe $1$. To matematyczna podstawa skończonej wyceny nieskończonego strumienia płatności.

Zastosowania w ekonomii

Koszt całkowity z kosztu krańcowego

Skoro koszt krańcowy $MC(Q)$ jest pochodną kosztu całkowitego, to koszt całkowity jest jego całką. Dla $MC(Q)=3Q^2-4Q+5$ i kosztów stałych $FC=100$:

$$ TC(Q)=100+\int_0^Q(3q^2-4q+5)\,dq=100+Q^3-2Q^2+5Q. $$

Koszt całkowity jako pole pod krzywą kosztu krańcowego — Zmienny koszt całkowity to pole pod krzywą kosztu krańcowego $MC(Q)$. Całkowanie sumuje koszt każdej kolejnej jednostki produkcji.

Nadwyżka konsumenta

Nadwyżka konsumenta to różnica między tym, co nabywcy byliby gotowi zapłacić, a tym, co faktycznie płacą — geometrycznie pole między krzywą popytu a ceną rynkową. Dla popytu $Q=100-2P$ i ceny $P^*=20$ (skąd $Q^*=60$) odwracamy popyt do $P=50-\tfrac{Q}{2}$ i całkujemy:

$$ CS=\int_0^{60}\Big(50-\frac{Q}{2}-20\Big)\,dQ=\Big[30Q-\frac{Q^2}{4}\Big]_0^{60}=1800-900=900. $$

Nadwyżka konsumenta jako pole pod krzywą popytu — Nadwyżka konsumenta to pole między krzywą popytu a ceną rynkową $P^*$ — łączna „premia” wszystkich nabywców, którzy zapłaciliby więcej, niż faktycznie płacą. Tutaj $CS=900$.

Wartość bieżąca ciągłego strumienia

Dla ciągłego strumienia płatności $\pi(t)$ przy stopie dyskontowej $r$ wartość bieżąca netto wynosi

$$ NPV=\int_0^T \pi(t)\,e^{-rt}\,dt, $$

co jest ciągłym odpowiednikiem dyskretnej sumy $\sum_{t=0}^{T}\tfrac{\pi_t}{(1+r)^t}$. Postać ciągła jest wygodniejsza analitycznie i łączy się z granicą definiującą kapitalizację ciągłą.

Całki wielokrotne i przestrzeń $\mathbb{R}^n$

Tak jak całka pojedyncza sumuje pola pasków, dając pole pod krzywą, całka podwójna sumuje objętości słupków, dając objętość pod powierzchnią:

$$ \iint_D f(x,y)\,dx\,dy. $$

Całka podwójna jako objętość pod powierzchnią — Całka podwójna $\iint_D f(x,y)\,dx\,dy$ to objętość bryły pod powierzchnią $z=f(x,y)$ nad obszarem $D$ — uogólnienie „pola pod krzywą” o jeden wymiar wyżej.

Całki w $\mathbb{R}^n$ i czwarty wymiar.

Konstrukcja sumy Riemanna uogólnia się na dowolny wymiar: całka pojedyncza sumuje po odcinkach, podwójna po prostokątach, potrójna $\iiint f\,dx\,dy\,dz$ po kostkach, a $n$-krotna $\int_{\mathbb{R}^n} f\,d\mathbf{x}$ — po $n$-wymiarowych kostkach. Wyniku w $\mathbb{R}^4$ i wyżej nie da się narysować jako „bryły”, lecz rachunek pozostaje ten sam — sumujemy nieskończenie wiele nieskończenie małych elementów. W statystyce takie całki dają masę prawdopodobieństwa: całka gęstości po obszarze w $\mathbb{R}^n$ jest prawdopodobieństwem, że wektor zmiennych losowych wpadnie w ten obszar. Czterowymiarową całkę można liczyć „warstwa po warstwie”, ustalając jedną zmienną i całkując po trójwymiarowych przekrojach (twierdzenie Fubiniego).

Zastosowanie — studium przypadku: wartość bieżąca inwestycji (NPV)

Inwestycja generuje ciągły strumień przychodów — w przybliżeniu $100$ tys. zł rocznie przez $10$ lat. Przy stopie dyskontowej $r=8\%$ przychód otrzymany w chwili $t$ jest dziś wart $100\,e^{-0{,}08t}$ (dyskontowanie ciągłe, zob. granice). Łączną wartość bieżącą tego strumienia daje całka:

$$ \mathrm{NPV}_{\text{przychodów}}=\int_0^{10}100\,e^{-0{,}08t}\,dt=100\cdot\Big[-\tfrac{1}{0{,}08}e^{-0{,}08t}\Big]_0^{10}=1250\big(1-e^{-0{,}8}\big)\approx 688\ \text{tys. zł}. $$

Jeżeli nakład początkowy wynosi $500$ tys. zł, to wartość bieżąca netto projektu to $688-500=188$ tys. zł $\gt 0$ — inwestycja jest opłacalna. Geometrycznie NPV to pole pod zdyskontowaną krzywą przychodów.

NPV jako pole pod zdyskontowaną krzywą przychodów — Wartość bieżąca ciągłego strumienia przychodów to pole pod krzywą $100\,e^{-0{,}08t}$ na przedziale $[0,10]$. Dyskontowanie sprawia, że przychody odległe w czasie ważą mniej; całka sumuje je wszystkie, dając $\mathrm{NPV}\approx 688$ tys. zł.

Studium to pokazuje, dlaczego całka jest nieodzowna w finansach: sumowanie nieskończenie wielu chwilowych, malejąco zdyskontowanych przychodów to dokładnie operacja całkowania, a wynik rozstrzyga o opłacalności decyzji.

Literatura

Podręczniki polskie

G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. II, PWN.
W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t. II, PWN.
M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2, Oficyna GiS, Wrocław.

Klasyki światowe i ekonomiczne

W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976.
T. M. Apostol, Calculus, vol. I, Wiley, 1967.
A. C. Chiang, K. Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw-Hill, 2005.

Źródła historyczne

C. B. Boyer, The History of the Calculus and its Conceptual Development, Dover, 1959.

Definicja

Hasła w słowniku

Pojęcia z tego rozdziału znajdziesz w słowniku: całka oznaczona, funkcja pierwotna, suma Riemanna, podstawowe twierdzenie rachunku całkowego, wartość bieżąca netto.

Podsumowanie

Całka jest granicą sum Riemanna — pola pod wykresem i sumy nieskończenie wielu składników. Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego czyni z całkowania operację odwrotną do różniczkowania, a metody podstawienia i całkowania przez części pozwalają sprowadzać całki złożone do elementarnych. Uogólnienie na całki wielokrotne w $\mathbb{R}^n$ prowadzi wprost do rachunku prawdopodobieństwa i rozkładów.

Następnie: Rozkłady prawdopodobieństwa