Całki — teoria i zastosowania ekonomiczne

Definicja całki

Pochodna mierzy tempo zmiany. Całka mierzy akumulację — sumę nieskończenie wielu nieskończenie małych przyrostów.

Geometrycznie: całka oznaczona $\int_a^b f(x)\, dx$ to pole powierzchni pod wykresem funkcji $f(x)$ między $x=a$ i $x=b$.

$$\int_a^b f(x)\, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \cdot \Delta x$$

To jest suma Riemanna — dzielimy obszar na prostokąty i sumujemy ich pola. Gdy prostokąty stają się coraz węższe ($\Delta x \to 0$), suma dąży do dokładnej wartości całki.

Podstawowe Twierdzenie Rachunku Całkowego

Pochodna i całka są operacjami odwrotnymi:

$$\frac{d}{dx}\left[\int_a^x f(t)\, dt\right] = f(x)$$$$\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)$$

gdzie $F$ jest dowolną funkcją pierwotną: $F'(x) = f(x)$.

To twierdzenie sprawia, że zamiast liczyć granicę sum Riemanna, możemy znaleźć funkcję pierwotną i podstawić granice.

Całka nieoznaczona

Całka nieoznaczona $\int f(x)\, dx$ to rodzina wszystkich funkcji pierwotnych:

$$\int f(x)\, dx = F(x) + C$$

gdzie $C$ — stała całkowania (nieoznaczona, stąd nazwa).

Podstawowe wzory całkowania

Funkcja $f(x)$	Całka $\int f(x)\, dx$
$x^n$ ($n \neq -1$)	$\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$\frac{1}{x}$	$\ln
$e^x$	$e^x + C$
$a^x$	$\frac{a^x}{\ln a} + C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$

Przykład:

$$\int x^3\, dx = \frac{x^4}{4} + C$$$$\int \frac{1}{x}\, dx = \ln|x| + C$$

Metody całkowania

Całkowanie przez podstawienie

Gdy mamy złożoną funkcję: podstawiamy $u = g(x)$, wtedy $du = g'(x)\, dx$.

Przykład: $\int 2x \cdot e^{x^2}\, dx$

Podstawiamy $u = x^2$, $du = 2x\, dx$:

$$\int e^u\, du = e^u + C = e^{x^2} + C$$

Całkowanie przez części

$$\int u\, dv = uv - \int v\, du$$

Stosujemy gdy mamy iloczyn dwóch różnych typów funkcji (np. wielomian × funkcja eksponencjalna).

Przykład: $\int x \cdot e^x\, dx$

Wybieramy $u = x$ i $dv = e^x\, dx$, więc $du = dx$ i $v = e^x$:

$$\int x \cdot e^x\, dx = x \cdot e^x - \int e^x\, dx = x \cdot e^x - e^x + C = e^x(x-1) + C$$

Zastosowania w ekonomii

1. Całkowity koszt z kosztu marginalnego

Jeśli koszt marginalny to $MC(Q)$, to całkowity koszt zmienia się o:

$$TC(Q) = TC(0) + \int_0^Q MC(q)\, dq$$

Przykład: $MC(Q) = 3Q^2 - 4Q + 5$, koszty stałe $FC = 100$

$$TC(Q) = 100 + \int_0^Q (3q^2 - 4q + 5)\, dq = 100 + Q^3 - 2Q^2 + 5Q$$

2. Surplus konsumenta

Surplus konsumenta to różnica między tym, co konsumenci byliby gotowi zapłacić a tym, co faktycznie płacą:

$$CS = \int_{P^*}^{P_{max}} D(P)\, dP = \int_0^{Q^*} [D^{-1}(Q) - P^*]\, dQ$$

gdzie $P^*$ — cena rynkowa, $D(P)$ — krzywa popytu.

Przykład: Popyt $Q = 100 - 2P$, cena rynkowa $P^* = 20$, więc $Q^* = 60$.

Odwracamy: $P = 50 - \frac{Q}{2}$ (cena maximalna przy $Q=0$: $P=50$).

$$CS = \int_0^{60}\left(50 - \frac{Q}{2} - 20\right)dQ = \int_0^{60}\left(30 - \frac{Q}{2}\right)dQ$$$$= \left[30Q - \frac{Q^2}{4}\right]_0^{60} = 1800 - 900 = 900$$

3. Modele wzrostu ciągłego

W modelu wzrostu ciągłego ze stopą $r$:

$$\frac{dY}{dt} = rY \implies Y(t) = Y_0 e^{rt}$$

Całka daje nam całkowity skumulowany wzrost w czasie $[0, T]$:

$$\int_0^T Y_0 e^{rt}\, dt = \frac{Y_0}{r}\left(e^{rT} - 1\right)$$

4. Wartość bieżąca netto (NPV)

Dla ciągłego strumienia płatności $\pi(t)$ przy stopie dyskontowej $r$:

$$NPV = \int_0^T \pi(t) \cdot e^{-rt}\, dt$$

Porównaj z dyskretnym: $NPV = \sum_{t=0}^{T} \frac{\pi_t}{(1+r)^t}$

Model ciągły jest matematycznie wygodniejszy do analizy.

Całki wielokrotne (wstęp)

W ekonometrii czasem potrzebujemy całkować po wielu zmiennych jednocześnie:

$$\iint_D f(x, y)\, dx\, dy$$

To obszar pod powierzchnią $f(x,y)$ nad regionem $D$. W statystyce takie całki pojawiają się przy obliczaniu prawdopodobieństwa dla rozkładów wielowymiarowych.

Następnie: Rozkłady prawdopodobieństwa