Zmienne instrumentalne i endogeniczność

Wymagana znajomość: regresja liniowa, estymator MNK, podstawy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej.

Zmienne instrumentalne należą do najważniejszych i jednocześnie najtrudniejszych pojęć nowoczesnej ekonometrii. Nie wynika to ze złożoności aparatu algebraicznego. Trudność polega raczej na tym, że metoda odpowiada na problem, z którym student zwykle nie zdążył się jeszcze dostatecznie zmierzyć. Jeżeli zaczniemy od zdania: „instrument to zmienna skorelowana ze zmienną endogeniczną i nieskorelowana ze składnikiem losowym", otrzymamy definicję formalnie poprawną, lecz dydaktycznie bezużyteczną. Student zapamięta dwa warunki, nie rozumiejąc, dlaczego są potrzebne, skąd się biorą i dlaczego ich naruszenie uniemożliwia interpretację przyczynową.

Niniejszy rozdział wychodzi od problemu, a nie od metody. Najpierw zostanie wyjaśnione, dlaczego klasyczna metoda najmniejszych kwadratów może prowadzić do błędnego wniosku nawet wtedy, gdy obliczenia są przeprowadzone bezbłędnie. Następnie omówiona zostanie endogeniczność w trzech postaciach: pominięte zmienne, jednoczesność i błąd pomiaru. Dopiero na tej podstawie zostanie zbudowana idea instrumentu jako narzędzia służącego do wyodrębnienia tej części zmienności zmiennej objaśniającej, która jest zewnętrzna wobec nieobserwowalnych determinant wyniku.

Ograniczenia zwykłej regresji

Pytanie przyczynowe a pytanie opisowe

Ekonometria bardzo często zaczyna się od pytania: czy jedna zmienna wpływa na drugą? Pytania tego rodzaju pojawiają się w niemal każdej dziedzinie nauk społecznych i gospodarczych:

• czy dodatkowy rok edukacji zwiększa wynagrodzenie,
• czy reklama zwiększa sprzedaż,
• czy szkolenia pracowników zwiększają ich produktywność,
• czy większa liczba policjantów zmniejsza przestępczość,
• czy obniżka podatków zwiększa inwestycje.

W każdym z tych pytań interesuje nas nie tylko współwystępowanie dwóch zmiennych. Interesuje nas efekt przyczynowy. Chcemy wiedzieć, co stałoby się z wynikiem, gdybyśmy zmienili jedną zmienną, a wszystkie pozostałe istotne czynniki pozostawili bez zmian. To jest znacznie mocniejsze pytanie niż pytanie o korelację.

Rozważmy klasyczny przykład: wpływ edukacji na wynagrodzenie. Naturalny model to:

Współczynnik $\beta_1$ chcielibyśmy interpretować jako przyrost wynagrodzenia wynikający z jednego dodatkowego roku edukacji. Jeżeli wynagrodzenie mierzymy w tysiącach złotych, a edukację w latach, wartość $\beta_1 = 0{,}6$ oznaczałaby, że dodatkowy rok nauki zwiększa miesięczne wynagrodzenie przeciętnie o 600 złotych.

Taka interpretacja jest jednak poprawna tylko przy bardzo silnym warunku: osoby z różnym poziomem edukacji muszą być porównywalne pod względem wszystkich nieobserwowanych cech wpływających na wynagrodzenie. Jeżeli osoby z dłuższą edukacją mają jednocześnie wyższe zdolności, większą motywację, lepsze wsparcie rodzinne i mieszkają w regionach o lepszym rynku pracy — regresja przypisze edukacji również część wpływu tych czynników.

Interpretacja ekonometryczna.

Regresja MNK nie identyfikuje kierunku przyczynowego — odzwierciedla jedynie współzmienność. Jeżeli model nie uwzględnia różnic w zdolnościach, motywacji i pochodzeniu społecznym, część wpływu tych czynników zostanie błędnie przypisana edukacji.

Dane liczbowe: dwadzieścia osób

Rozważmy dwadzieścia osób. W realnym badaniu obserwujemy edukację i wynagrodzenie. Dla celów dydaktycznych dopiszemy dwie zmienne, których badacz najczęściej nie obserwuje dokładnie: zdolności i motywację.

Tabela 1. Dane symulowane: edukacja, zarobki i nieobserwowane determinanty.

W tabeli widać, że osoby z dłuższą edukacją zarabiają więcej. Widać jednak także, że wraz z edukacją rosną zdolności i motywacja. To oznacza, że zmienna $\text{Education}$ nie jest czystym eksperymentalnym ruchem edukacji. Jest zmienną złożoną: częściowo opisuje lata nauki, a częściowo ujawnia, kim są osoby, które tę edukację zdobyły.

Gdyby prawdziwy model był następujący:

a badacz oszacował model pomijający zdolności i motywację:

to składnik losowy zawierałby pominięte determinanty płac:

Jeżeli $\text{Education}_i$ jest skorelowane z $\text{Ability}_i$ i $\text{Motivation}_i$, to jest skorelowane również z $u_i$:

To jest formalny zapis problemu. Warunek egzogeniczności MNK jest złamany.

Pierwsza intuicja: zanieczyszczona wariancja

Wyobraźmy sobie, że całą zmienność edukacji możemy podzielić na dwa składniki:

Składnik egzogeniczny — zmienność edukacji wynikająca z czynników niezwiązanych ze zdolnościami ani motywacją: ktoś mieszkał blisko dobrej szkoły, dostał stypendium, przeprowadził się do miasta, miał nauczyciela, który zapalił go do nauki.

Składnik endogeniczny — zmienność edukacji wynikająca ze zdolności i motywacji: zdolniejsi uczą się dłużej, bo łatwiej im to przychodzi i bardziej to lubią.

MNK nie rozróżnia tych dwóch składników. Używa całej zmienności edukacji — zarówno egzogenicznej, jak i endogenicznej. Efekt czystej edukacji zostaje zmieszany z efektem zdolności. Wynik jest zbyt duży.

Metoda zmiennych instrumentalnych, opisana szczegółowo w dalszej części artykułu, polega na wyizolowaniu wyłącznie składnika egzogenicznego i użyciu go jako podstawy estymacji. Instrument jest właśnie narzędziem do przeprowadzenia tego rozdziału.

Endogeniczność

Definicja

Zanim przejdziemy do formalnej definicji, warto sformułować tę myśl słowami. Endogeniczność zachodzi wówczas, gdy zmienność danej zmiennej nie pochodzi wyłącznie z czynników zewnętrznych wobec modelu, lecz odzwierciedla reakcję jednostek na ukryte determinanty wyniku — zdolności, motywację, stan zdrowia, sytuację finansową — które oddziałują jednocześnie na zmienną objaśniającą i na wynik.

Komentarz do definicji. Składnik losowy $u_i$ nie jest koszem na „przypadek" w potocznym sensie. Zawiera on wszystkie czynniki wpływające na $Y$, których nie zapisaliśmy jawnie po prawej stronie równania. Jeżeli którykolwiek z tych czynników jest powiązany z $X$, to $X$ jest endogeniczne.

Pominięte zmienne

Pominięta zmienna powoduje endogeniczność wtedy, gdy spełnia dwa warunki jednocześnie: wpływa na $Y$ i jest skorelowana z $X$. Jeżeli pominięta zmienna wpływa na $Y$, ale nie jest skorelowana z $X$ — nie obciąża estymatora. Jeżeli jest skorelowana z $X$, ale nie wpływa na $Y$ — również nie powoduje obciążenia. Problem powstaje dokładnie w przecięciu obu warunków.

Kierunek obciążenia przy pominiętej zmiennej. Niech prawdziwy model będzie:

ale badacz estymuje model bez $W_i$:

Wówczas granica probabilistyczna estymatora MNK wynosi:

Ten wzór jest wyjątkowo dydaktyczny. Kierunek błędu zależy od iloczynu dwóch elementów: wpływu pominiętej zmiennej na wynik ($\gamma$) oraz korelacji pominiętej zmiennej ze zmienną objaśniającą ($\text{Cov}(X, W)$).

Przykład ekonomiczny. Zdolności zwiększają płace ($\gamma > 0$) i są dodatnio skorelowane z edukacją ($\text{Cov}(\text{Education}, \text{Ability}) > 0$). MNK zawyża wpływ edukacji.

Przykład medyczny. Ciężko chorzy pacjenci częściej biorą leki ($\text{Cov}(\text{lek}, \text{nasilenie choroby}) > 0$). Nasilenie choroby pogarsza wskaźnik zdrowia ($\gamma < 0$). Regresja wskaźnika zdrowia na przyjmowanie leku — bez kontroli za nasilenie choroby — może sugerować, że lek szkodzi, choć naprawia.

Przykład finansowy. Osoby cierpliwe i zdyscyplinowane zarówno więcej oszczędzają, jak i chętniej uczestniczą w kursach finansowych. Bez kontroli za tę cechę charakteru szacunek efektu kursu jest zawyżony.

Przykład społeczny. Szkoły w zamożnych dzielnicach mają mniejsze klasy i jednocześnie lepszych uczniów z bogatszych rodzin. Bez kontroli za zamożność dzielnicy mała klasa wydaje się bardziej korzystna niż w rzeczywistości.

Tabela kierunków obciążeń.

Jednoczesność

Jednoczesność zachodzi, gdy $X$ wpływa na $Y$, ale równocześnie $Y$ wpływa na $X$. Klasyczny przykład to liczba policjantów i przestępczość. Chcemy zbadać, czy większa liczba policjantów zmniejsza przestępczość:

Miasta z wysoką przestępczością zatrudniają jednak więcej policjantów. Powstaje pętla przyczynowa: więcej policji redukuje przestępczość, a wzrost przestępczości wywołuje zwiększenie liczby policjantów. Prosta regresja może pokazać dodatnią korelację między liczbą policjantów a przestępczością — nie dlatego, że policjanci powodują przestępczość, lecz dlatego, że są endogenicznie rozmieszczani tam, gdzie przestępczości jest najwięcej.

Podobny mechanizm obserwujemy na każdym rynku. Cena jabłek i sprzedana ilość są wyznaczane jednocześnie przez krzywe popytu i podaży. Regresja ilości na cenie nie identyfikuje ani krzywej popytu, ani podaży — daje mieszaninę obu.

Błąd pomiaru

Błąd pomiaru zachodzi, gdy obserwowana zmienna różni się od zmiennej teoretycznej, którą chcemy mieć w modelu. Niech prawdziwy model będzie:

ale badacz obserwuje $X_i = X_i^* + e_i$, gdzie $e_i$ jest błędem pomiaru. Podstawiając:

Nowy składnik losowy to $\tilde{u}_i = u_i - \beta_1 e_i$. Ponieważ $\text{Cov}(X_i, e_i) = \text{Var}(e_i) > 0$ (zmienna mierzona jest skorelowana z własnym błędem pomiaru), mamy $\text{Cov}(X_i, \tilde{u}_i) \neq 0$. W klasycznym przypadku, gdy $e_i \perp X_i^*$ i $e_i \perp u_i$:

Obciążenie jest zawsze w kierunku zera i nazywa się obciążeniem atenuacyjnym. Im większy błąd pomiaru względem prawdziwej zmienności, tym silniejsze zaniżenie.

Przykład. Dochód z ankiet jest mierzony z błędem (respondenci zaokrąglają, pomijają dochody nieformalne). Regresja konsumpcji na zadeklarowanym dochodzie niedoszacowuje marginalnej skłonności do konsumpcji.

Najczęstsze błędne intuicje.

Błąd 1: „Reszty z regresji MNK są nieskorelowane ze zmienną objaśniającą, więc warunek egzogeniczności jest spełniony."

Nie. MNK konstruuje reszty $\hat{u}$ tak, żeby były ortogonalne do $X$ w próbie — to własność algorytmu. Problem dotyczy prawdziwego, nieobserwowalnego składnika losowego $u$, a nie reszt wygenerowanych przez algorytm.

Błąd 2: „Przy dużej próbie obciążenie zniknie."

Nie. Niezgodność to obciążenie w granicy $n \to \infty$. Zbieranie większej próby nie pomaga — wręcz precyzyjniej zbliżamy się do błędnej wartości.

Niezgodność estymatora MNK

Postać macierzowa estymatora

Rozważmy model w notacji macierzowej:

gdzie $\mathbf{y}$ jest wektorem $n \times 1$, $\mathbf{X}$ macierzą $n \times k$ (pierwsza kolumna złożona z jedynek), $\boldsymbol{\beta}$ wektorem $k \times 1$ parametrów, a $\mathbf{u}$ wektorem $n \times 1$ składników losowych.

Estymator MNK minimalizuje sumę kwadratów reszt:

Warunek pierwszego rzędu daje:

Podstawiamy prawdziwy model $\mathbf{y} = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta} + \mathbf{u}$:

To równanie jest kluczowe. Estymator MNK równa się prawdziwemu parametrowi powiększonemu o składnik zależny od relacji między zmiennymi objaśniającymi a składnikiem losowym. Gdy ów składnik nie dąży do zera — estymator MNK jest niezgodny.

Dowód niezgodności

Przypadek skalarny: jawna postać obciążenia

Dla modelu $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i$ wynik redukuje się do:

Jest to wyrażenie, które warto zapamiętać. Interpretacja każdego składnika:

• $\beta_1$ — prawdziwy efekt przyczynowy $X$ na $Y$.
• $\text{Cov}(X, u)$ — korelacja regresor–składnik losowy; dokładnie to, czego chcielibyśmy uniknąć.
• $\text{Var}(X)$ — zawsze dodatnie; kierunek obciążenia wyznacza wyłącznie znak $\text{Cov}(X, u)$.

Interpretacja geometryczna

MNK rzutuje wektor $\mathbf{y}$ na przestrzeń rozpiętą przez kolumny macierzy $\mathbf{X}$. Otrzymujemy przewidywania $\hat{\mathbf{y}} = \mathbf{P}_X\mathbf{y}$ i reszty $\hat{\mathbf{u}} = \mathbf{y} - \hat{\mathbf{y}}$, gdzie:

Własność $\mathbf{X}'\hat{\mathbf{u}} = \mathbf{0}$ oznacza, że błąd dopasowania jest prostopadły do przestrzeni regresorów — jest to jednak tożsamość algebraiczna wynikająca z budowy estymatora, a nie warunek przyczynowy. Gdy $\mathbf{X}$ zostało „wybrane" przez jednostki na podstawie ukrytych cech trafiających do $\mathbf{u}$, geometria MNK nie rozwiązuje problemu przyczynowego.

Pytania kontrolne

Pytanie 3.1. Model płac: $\ln W_i = \beta_0 + \beta_1 \text{Educ}_i + u_i$. Składnik $u_i$ zawiera zdolności, które są: (a) dodatnio związane z zarobkami i (b) dodatnio skorelowane z edukacją. Jaki jest kierunek obciążenia $\hat{\beta}_1^{\text{MNK}}$?

Pytanie 3.2. Model: $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i$. Wykaż, że gdy $\text{Cov}(X_i, u_i) = 0$, to $\operatorname{plim}\hat{\beta}_1^{\text{MNK}} = \beta_1$.

Idea zmiennej instrumentalnej

Pytanie prowadzące

Wróćmy do edukacji i płac. Problem polega na tym, że edukacja jest powiązana ze zdolnościami, motywacją i pochodzeniem społecznym. Chcielibyśmy mieć eksperyment, w którym losowo przydzielamy ludziom dodatkowy rok edukacji. Wtedy edukacja byłaby niezależna od ukrytych cech. Taki eksperyment jest jednak zwykle niemożliwy.

Metoda zmiennych instrumentalnych poszukuje czegoś bliskiego eksperymentalnemu impulsowi: zewnętrznego źródła zmienności edukacji, niepowiązanego ze zdolnościami ani motywacją.

Interpretacja ekonometryczna.

Instrument nie służy do „naprawienia" całej zmiennej endogenicznej, lecz do wyodrębnienia z niej składnika zmienności o wiarygodnie egzogenicznym pochodzeniu. Metoda IV nie mierzy związku całej edukacji z płacą; mierzy zmianę płacy towarzyszącą tej zmianie edukacji, która następuje z powodu instrumentu.

Odległość od uczelni: historyczny przykład

David Card (1995) zaproponował jako instrument dla edukacji odległość miejsca zamieszkania w dzieciństwie od najbliższej uczelni wyższej. Idea jest prosta: osoba mieszkająca bliżej uczelni ma niższy koszt studiowania — niższe koszty zakwaterowania, dojazdu i psychologiczną bliskość instytucji. Może więc zdobyć więcej edukacji nie dlatego, że ma większe zdolności, lecz dlatego, że warunki geograficzne obniżyły koszt nauki.

Dlaczego to może być instrument?

Odległość wpływa na poziom edukacji (warunek pierwszy, który zweryfikujemy statystycznie). Jednocześnie odległość od uczelni w dzieciństwie nie powinna bezpośrednio wpływać na zarobki dwadzieścia lat później — przynajmniej jeżeli kontrolujemy inne cechy środowiska miejskiego. Zdolności intelektualne nie determinują, w jakiej odległości od uczelni dziecko się urodziło i dorastało.

Gdzie argument bywa kwestionowany?

Krytycy wskazują, że bliskość uczelni może być powiązana z zamieszkaniem w dużym mieście, lepszymi szkołami podstawowymi, wyższymi dochodami rodzin i gęstszym rynkiem pracy. Każdy z tych kanałów mógłby wpływać na zarobki bezpośrednio, bez pośrednictwa edukacji. Card odpowiada, włączając do modelu kontrole za urbanizację i region, i pokazuje, że wyniki są odporne.

Formalna definicja instrumentu

Trzy interpretacje warunków:

Ekonomiczna: Instrument musi być skuteczny (poruszać $X$) i czysty (nie wpływać na $Y$ innymi kanałami). Odległość od uczelni musi wpływać na edukację i nie może wpływać na zarobki przez żaden inny mechanizm.

Geometryczna: Wyobraźmy sobie diagram przyczynowy. Cały przepływ informacji od $Z$ do $Y$ musi przebiegać przez $X$. Jeżeli istnieje bezpośrednia ścieżka $Z \to Y$ z pominięciem $X$, warunek egzogeniczności jest złamany.

Statystyczna: Warunek istotności jest weryfikowalny przez regresję $X$ na $Z$ i ocenę $F$-statystyki. Warunek egzogeniczności jest identyfikowalny wyłącznie przy nadidentyfikacji i wyłącznie przy dodatkowym założeniu, że co najmniej jeden instrument jest poprawny.

Klasyczne przykłady instrumentów

Dobry instrument jest rzadki. Wybór instrumentu to najtrudniejszy krok analizy IV — wymaga wiedzy merytorycznej, historycznej i instytucjonalnej, a nie tylko pomysłowości statystycznej.

Reforma edukacyjna jako naturalny eksperyment

Reformy podwyższające minimalny wiek zakończenia obowiązku szkolnego dostarczają jednych z najczystszych instrumentów w ekonometrii pracy. Harmon i Walker (1995) oraz Oreopoulos (2006) wykorzystali reformy brytyjskie i kanadyjskie.

Dlaczego instrument działa: Reforma prawnie zmusza pewną grupę uczniów do pozostania w szkole dłużej, niezależnie od ich zdolności ani chęci. Jest to egzogenna zmiana — data wejścia w życie ustawy nie jest powiązana z cechami uczniów z danej kohorty.

Ograniczenie: Instrument identyfikuje efekt edukacji wyłącznie dla osób dotkniętych reformą — tych, które bez niej rzuciłyby szkołę. Efekt dla reszty populacji pozostaje nieidentyfikowalny.

Miesiąc urodzenia (Angrist i Krueger 1991)

Mechanizm: W USA obowiązek szkolny dotyczy dzieci, które do 1 września danego roku skończyły 6 lat. Dziecko urodzone w grudniu zaczyna naukę prawie rok później niż dziecko urodzone w styczniu. Skoro wszyscy uczniowie mogą legalnie porzucić szkołę w tym samym wieku kalendarzowym, dzieci urodzone późno w roku opuszczają szkołę po mniejszej liczbie lat nauki.

Kontrowersje: Sezon urodzenia jest powiązany z warunkami zdrowotnymi w ciąży (wirusy, dieta), co mogłoby wpływać na zdolności poznawcze. Ponadto Bound, Jaeger i Baker (1995) wykazali, że korelacja między kwartałem urodzenia a edukacją jest bardzo mała — to klasyczny przypadek słabego instrumentu.

Losowanie numerów poboru (Angrist 1990)

Mechanizm: Podczas Wietnamu (1969–72) numery do poboru wojskowego były losowane. Powołanie było funkcją numeru, który był losowy — niezwiązany z żadnymi cechami osoby.

Dlaczego to idealny instrument: Losowość gwarantuje egzogeniczność. Powołanie wpływa na służbę wojskową (warunek 1). Numer losowy nie wpływa na zarobki inną drogą niż przez służbę (warunek 2).

Wynik badania: Angrist (1990) pokazał, że weterani zarabiają mniej niż nie-weterani — efekt przyczynowy, który bez IV był zamaskowany przez selekcję (do wojska szły osoby z niższych warstw, które i tak zarabiałyby mniej).

Zasada Majmonidesa (Angrist i Lavy 1999)

Mechanizm: Izraelska zasada religijna nakazuje, że klasa zostaje podzielona, gdy liczba uczniów przekroczy 40. Ta reguła tworzy nieciągłość w wielkości klasy przy 40 uczniach — ekstra uczeń numer 41 powoduje drastyczny spadek wielkości klasy z ~40 do ~20. Ta zmiana nie wynika z cech uczniów.

Dlaczego to dobry instrument: Nieciągłość przy 40 uczniach jest egzogeniczna — określona prawem, nie decyzją szkoły. Instrument silnie wpływa na wielkość klasy (warunek 1). Reguła Majmonidesa nie wpływa na wyniki uczniów inną drogą niż przez wielkość klasy (warunek 2, dyskusyjny w pewnym stopniu).

Instytucje kolonialne jako instrument (Acemoglu, Johnson, Robinson 2001)

Mechanizm: Acemoglu, Johnson i Robinson (2001) chcieli zmierzyć wpływ jakości instytucji na poziom dochodów między krajami. Problem: bogatsze kraje mogą budować lepsze instytucje (endogeniczność).

Instrument: Śmiertelność europejskich kolonizatorów w XIX wieku. Kraje o wysokiej śmiertelności były zakładane jako kolonie eksploatacyjne z ekstraktywnymi instytucjami (słaba ochrona własności, wysoka nierówność). Kraje o niskiej śmiertelności były zakładane jako kolonie osadnicze z instytucjami ochronnymi. Te historyczne instytucje przetrwały do dziś.

Dlaczego instrument jest ciekawy i kontrowersyjny: Jest bardzo odległy historycznie, co zmniejsza ryzyko bezpośredniego wpływu na dzisiejsze dochody przez inne kanały (warunek 2). Jednocześnie śmiertelność mogła być powiązana z warunkami geograficznymi, które same wpływają na dochody.

Kryteria wyboru instrumentu.

Gdy proponuję instrument, zadaję sobie trzy pytania:

1. Czy istnieje mechaniczny, wiarygodny powód, żeby $Z$ wpływało na $X$? Czy potrafi go opisać osoba bez wykształcenia ekonomicznego?
2. Czy można wymyślić jakikolwiek bezpośredni kanał $Z \to Y$ z pominięciem $X$? Każdy taki kanał niszczy interpretację.
3. Czy ktoś w literaturze zanegował ten instrument i jak autorzy odpowiedzieli?

Jeżeli na pytanie 2 nie jestem pewien — instrument jest wątpliwy.

Estymator zmiennych instrumentalnych

Warunek momentów

Rozważmy model (bez stałej dla przejrzystości):

Instrument $Z_i$ spełnia:

Ponieważ $u_i = Y_i - \beta X_i$, warunek staje się:

Rozwijamy:

Stąd:

W próbie zastępujemy populacyjne momenty ich próbkowymi odpowiednikami:

Z modelem ze stałą, po wycentrowaniu zmiennych:

Trzy interpretacje estymatora IV

Interpretacja statystyczna: Estymator IV jest ilorazem dwóch kowariancji: kowariancji instrumentu z wynikiem przez kowariancję instrumentu z regresorendem. Uwzględnia wyłącznie tę informację o $Y$, która pochodzi od $Z$.

Interpretacja ekonomiczna: Estymator IV pyta: jak zmienia się wynik $Y$, gdy instrument $Z$ się zmienia? I jak zmienia się regresor $X$, gdy $Z$ się zmienia? Iloraz tych dwóch odpowiedzi daje efekt $X$ na $Y$ — ale wyłącznie tej części zmienności $X$, którą wyznaczył instrument.

Interpretacja geometryczna: IV rzutuje $X$ i $Y$ na kierunek wyznaczony przez $Z$. Używamy wyłącznie tej informacji o obu zmiennych, która leży wzdłuż kierunku instrumentu.

Estymator Walda dla instrumentu binarnego

Gdy instrument $Z_i \in \{0, 1\}$, estymator IV redukuje się do estymatora Walda:

Intuicja: Licznik to różnica w wynikach między grupą z $Z=1$ a grupą z $Z=0$. Mianownik to różnica w leczeniu (edukacji) między tymi grupami. Iloraz mówi: ile wynik zmienia się na każdą jednostkę zmiany leczenia wywołaną przez instrument.

Przykład liczbowy:

Instrument: $Z_i = 1$ oznacza „mieszkanie w promieniu 5 km od uczelni wyższej".

Krok 1. Różnica w wynagrodzeniach:

Krok 2. Różnica w latach nauki:

Krok 3. Estymator Walda:

Krok 4. Interpretacja: dodatkowy rok edukacji wywołany przez bliskość uczelni zwiększa miesięczne wynagrodzenie o około 615 złotych.

Dla porównania, estymator MNK na tych samych danych daje wynik wyższy, ponieważ nie eliminuje wpływu zdolności.

Przykład: porównanie estymatorów MNK i IV

Poniższe dane symulują sytuację, w której prawdziwy efekt wynosi $\beta_1 = 2{,}0$, ale $X$ jest endogeniczne.

Tabela 2. Dane do przykładu IV ($n=8$, instrument binarny $Z$).

Krok 1. Obliczamy średnie w grupach.

Dla $Z=0$: $\bar{X}_0 = (1{,}50+0{,}79+5{,}07+2{,}36)/4 = 9{,}72/4 = 2{,}43$; $\bar{Y}_0 = (5{,}17-0{,}92+14{,}00+5{,}92)/4 = 24{,}17/4 = 6{,}04$.

Dla $Z=1$: $\bar{X}_1 = (5{,}64+3{,}93+9{,}21+7{,}50)/4 = 26{,}28/4 = 6{,}57$; $\bar{Y}_1 = (11{,}83+7{,}75+20{,}67+15{,}58)/4 = 55{,}83/4 = 13{,}96$.

Krok 2. Estymator Walda:

Krok 3. Dla porównania, MNK regresji $Y$ na $X$ (bez instrumentu) daje $\hat{\beta}^{\text{MNK}} \approx 2{,}25$ — zawyżony, bo $X$ koreluje z pominięta zmienną trafiającą do $u$.

Interpretacja: Estymator IV odtwarza prawdziwą wartość $\beta_1 = 2{,}0$. Estymator MNK miesza efekt $X$ z efektem nieobserwowalnej zmiennej, co prowadzi do przeszacowania.

Dwustopniowa metoda najmniejszych kwadratów

Idea dwóch etapów

Estymator Walda działa dla jednego binarnego instrumentu. W ogólnym przypadku — wiele instrumentów, wiele kontroli, wiele endogenicznych regresorów — stosujemy 2SLS (Two-Stage Least Squares).

Idea dwóch etapów wynika bezpośrednio z geometrii problemu. Chcemy zachować wyłącznie tę część zmienności $X$, która pochodzi od instrumentów. Robimy to przez rzut $X$ na przestrzeń instrumentów.

Etap 1: wyizolowanie egzogenicznej zmienności

Regresujemy endogeniczny regresor $X_i$ na zestaw instrumentów $Z_i$ oraz egzogeniczne zmienne kontrolne $\mathbf{W}_i$:

Wartości dopasowane:

Co uzyskujemy? Dokonujemy rozkładu:

Część $\hat{X}_i$ jest liniową kombinacją egzogenicznych $Z_i$ i $\mathbf{W}_i$ — jest zatem egzogeniczna z definicji. Część $\hat{v}_i$ zawiera endogeniczność.

Etap 2: regresja na oczyszczonej zmiennej

Zastępujemy $X_i$ przez $\hat{X}_i$ i estymujemy MNK:

Dlaczego ta procedura skutkuje zgodną estymacją? Zmienna $\hat{X}_i$ jest egzogeniczna z konstrukcji. Warunek $\mathbb{E}[\varepsilon_i \mid \hat{X}_i] = 0$ jest spełniony, o ile instrument jest poprawny. Estymator MNK drugiego etapu jest zatem zgodny dla $\beta_1$.

Najczęstsze błędy w 2SLS.

Błąd 1: „Przeprowadzę oba etapy ręcznie i wezmę błędy standardowe z drugiej regresji." — Błędy standardowe z ręcznej 2SLS są zaniżone, bo nie uwzględniają niepewności z pierwszego etapu. Prowadzi to do fałszywie wąskich przedziałów ufności. Zawsze używaj ivreg().

Błąd 2: „Dodanie zmiennych kontrolnych $\mathbf{W}_i$ wystarczy po jednej stronie formuły." — Zmienne egzogeniczne muszą pojawić się po obu stronach: w modelu strukturalnym i jako własne instrumenty po prawej stronie |.

Postać macierzowa 2SLS

Interpretacja geometryczna 2SLS

Przestrzeń kolumn $\mathbf{Z}$ to zbiór wszystkich liniowych kombinacji instrumentów. Projekcja $\hat{\mathbf{X}} = \mathbf{P}_Z\mathbf{X}$ jest rzutem $\mathbf{X}$ na tę przestrzeń — najlepsza aproksymacja $\mathbf{X}$ przez instrumenty.

Reszta $\hat{\mathbf{v}} = \mathbf{X} - \hat{\mathbf{X}}$ jest prostopadła do całej przestrzeni instrumentów: $\mathbf{Z}'\hat{\mathbf{v}} = \mathbf{0}$. To jest endogeniczna część $\mathbf{X}$.

2SLS odrzuca $\hat{\mathbf{v}}$ i pracuje wyłącznie z $\hat{\mathbf{X}}$ — usuwa endogeniczność geometrycznie.

Właściwości estymatora IV

Zgodność

Rozkład asymptotyczny

Przy standardowych warunkach regularności:

gdzie macierz wariancji-kowariancji:

a $\mathbf{Q}_{ZZ} = \mathbb{E}[\mathbf{z}_i\mathbf{z}_i']$.

Kluczowa konsekwencja: Wariancja $\hat{\boldsymbol{\beta}}^{\text{IV}}$ jest zawsze co najmniej tak duża jak wariancja $\hat{\boldsymbol{\beta}}^{\text{MNK}}$ w przypadku, gdy estymator MNK jest zgodny. Zgodność estymatora IV uzyskuje się zatem kosztem precyzji.

Przykład: reforma edukacyjna

Reforma edukacyjna zwiększyła przeciętną długość nauki o 0,25 roku. Jednocześnie przeciętne miesięczne wynagrodzenie wzrosło o 150 złotych.

Interpretacja: Dodatkowy rok edukacji wywołany reformą zwiększa miesięczne wynagrodzenie o 600 złotych.

Słabe instrumenty

Konsekwencje słabego instrumentu

Gdy instrument jest słabo powiązany ze zmienną endogeniczną, mianownik $\widehat{\text{Cov}}(Z, X)$ jest bliski zeru. Małe błędy próbkowe w estymacji kowariancji mogą drastycznie zmienić wynik. Estymator staje się niestabilny.

Co więcej, słabe instrumenty powodują obciążenie estymatora IV w kierunku estymatora MNK (Bound, Jaeger i Baker 1995; Staiger i Stock 1997). Jeżeli $Z$ niemal nie wpływa na $X$, to $\hat{X} \approx \bar{X}$ — dopasowanie pierwszego etapu jest bezinformacyjne i estymator IV degeneruje się w kierunku MNK.

Formalnie, obciążenie IV wynosi w przybliżeniu:

gdzie $F_1$ jest statystyką $F$ pierwszego etapu. Gdy $F_1 \to \infty$ — obciążenie IV znika. Gdy $F_1 \to 1$ — obciążenie IV zbliża się do obciążenia MNK. Instrument jest bezwartościowy.

Reguła F > 10

Staiger i Stock (1997) wprowadzili orientacyjną regułę: statystyka F z regresji pierwszego etapu powinna przekraczać 10.

Ograniczenia reguły:

• Dotyczy jednego instrumentu i jednej endogenicznej zmiennej. Przy wielu instrumentach stosuje się statystyki Cragg-Donald i Kleibergen-Paap.
• Lee i in. (2022) pokazują, że dla zachowania rozmiaru testu 5% właściwszy próg to $F > 104$ (!). Klasyczna reguła $F > 10$ jest zbyt łagodna.
• Nowe metody — LIML, jackknife IV — są bardziej odporne na słabe instrumenty.

Testy diagnostyczne

Test pierwszego etapu: siła instrumentu

Co testujemy: $H_0: \pi_1 = 0$ (instrument nie wpływa na regresor) vs. $H_1: \pi_1 \neq 0$.

Interpretacja: Statystyka $F$ z regresji pierwszego etapu. Gdy $F < 10$ — instrument słaby, interpretację wyników należy opatrzyć poważną rezerwą.

Test Hausmana-Durbin-Wu: endogeniczność

Co testujemy: Czy $X$ jest w ogóle endogeniczna? Czy IV jest w ogóle potrzebne?

Hipotezy: $H_0: X$ jest egzogeniczna (MNK wystarczy) vs. $H_1: X$ jest endogeniczna.

Procedura Durbin-Wu (prostszy wariant):

1. Oszacuj pierwszą regresję: $X$ na $Z$ i kontrole. Zachowaj reszty $\hat{v}_i$.
2. Dodaj $\hat{v}_i$ jako dodatkowy regresor do modelu głównego i estymuj MNK.
3. Przetestuj istotność $\hat{v}_i$. Istotny $\hat{v}_i$ sugeruje endogeniczność.

Uwaga: Nieodrzucenie $H_0$ nie dowodzi egzogeniczności — test może mieć niewystarczającą moc. W razie wątpliwości merytorycznych zastosowanie estymatora IV jest postępowaniem bardziej ostrożnym.

Test Sargana / Hansen J: nadidentyfikacja

Warunek stosowania: Tylko gdy $\ell > k$ (więcej instrumentów niż endogenicznych zmiennych).

Co testujemy: $H_0$: wszystkie instrumenty są egzogeniczne vs. $H_1$: co najmniej jeden instrument jest endogeniczny.

Statystyka:

Interpretacja: Odrzucenie $H_0$ sygnalizuje problem z zestawem instrumentów, ale nie wskazuje, który z nich jest wadliwy.

Ograniczenie: Test nie ma zastosowania przy dokładnej identyfikacji ($\ell = k$). Nieodrzucenie $H_0$ nie stanowi dowodu egzogeniczności — egzogeniczność jest w pierwszej kolejności argumentem merytorycznym, nie wynikiem testu statystycznego.

Schemat decyzyjny

┌─ KROK 1: Siła instrumentu ──────────────────────────────────┐
│  F ≥ 10 → kontynuuj                                         │
│  F < 10 → STOP: wyniki IV są niewiarygodne                  │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘
                         ↓
┌─ KROK 2: Endogeniczność (Hausman) ──────────────────────────┐
│  p < 0,05 → MNK obciążony, używaj IV                        │
│  p ≥ 0,05 → MNK może być OK; IV jest ostrożniejsze          │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘
                         ↓
┌─ KROK 3: Nadidentyfikacja — tylko gdy ℓ > k (Sargan) ───────┐
│  p < 0,05 → co najmniej jeden instrument wątpliwy           │
│  p ≥ 0,05 → brak dowodów przeciw egzogeniczności            │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘

Interpretacja IV: lokalny średni efekt oddziaływania (LATE)

Efekt lokalny a efekt populacyjny

Gdy efekt oddziaływania jest jednorodny — tzn. identyczny dla wszystkich jednostek — estymator IV mierzy ten wspólny efekt. W praktyce ekonometrii pracy, zdrowia czy edukacji efekty są jednak często heterogeniczne: ta sama interwencja wywiera różne skutki w różnych podgrupach.

Rozważmy odległość od uczelni jako instrument dla edukacji. Osoba silnie zdeterminowana ukończy studia niezależnie od odległości od uczelni. Osoba całkowicie niezainteresowana dalszą nauką nie zmieni swojej decyzji nawet w bezpośrednim sąsiedztwie uczelni. Instrument oddziałuje wyłącznie na jednostki „na granicy" decyzji — te, dla których bliskość uczelni stanowiła czynnik rozstrzygający.

Cztery typy jednostek

W analizie LATE wyróżniamy cztery typy jednostek (Imbens i Angrist 1994):

Twierdzenie LATE

Konsekwencje dla interpretacji:

Różne instrumenty dla tej samej zmiennej i tego samego wyniku mogą dawać różne szacunki LATE — bo identyfikują efekt dla różnych podgrup compliers. Badanie Angrist i Kruegera (1991, instrument: kwartał urodzenia) i badanie Card (1995, instrument: odległość od uczelni) mogą dawać różne szacunki zwrotu z edukacji, bo identyfikują efekt dla różnych populacji compliers.

Interpretacja LATE.

Gdy czytam wynik IV, zawsze pytam: kto są compliers dla tego instrumentu? Czy to interesująca politycznie podgrupa? Efekt reformy edukacyjnej z lat 60. na zarobki tej konkretnej kohorty — to interesujące pytanie polityczne, nawet jeśli to tylko LATE, a nie ATE. Ważne, żeby wiedzieć, co się mierzy.

Kompletny projekt w R

Przygotowanie środowiska

# ============================================================
# Ładujemy pakiety
# ============================================================
packages <- c("AER", "sandwich", "lmtest", "car", "modelsummary")
for (p in packages) if (!requireNamespace(p, quietly = TRUE)) install.packages(p)

library(AER)          # ivreg(): estymator IV/2SLS
library(sandwich)     # vcovHC(): odporne macierze wariancji
library(lmtest)       # coeftest(): testy z odpornymi SE
library(car)          # linearHypothesis(): testy restrykcji
library(modelsummary) # modelsummary(): tabele porównawcze

Generowanie danych symulowanych

Generujemy dane z prawdziwym $\beta_1 = 0{,}50$, ale endogenicznym regresorendem.

set.seed(123)             # ziarno losowości: wyniki reprodukowalne
n <- 2000                 # liczba obserwacji

# Nieobserwowalne zdolności — główne źródło endogeniczności
# Wpływają jednocześnie na edukację i zarobki
ability <- rnorm(n, mean = 0, sd = 1)

# Instrument: odległość od uczelni (w km)
# Losowane niezależnie od zdolności — egzogeniczne
distance <- runif(n, min = 0, max = 50)

# Edukacja endogeniczna: zależy od instrumentu i zdolności
# Blisko uczelni → więcej lat nauki (instrument działa)
# Wyższe zdolności → więcej lat nauki (źródło endogeniczności)
v <- rnorm(n, sd = 1)                          # szum losowy edukacji
education <- 16 - 0.06 * distance + 0.8 * ability + v
# Wyjaśnienie: 10 km dalej → 0.6 roku mniej nauki (śr.)
#              1 odch. std. wyższe zdolności → 0.8 roku więcej nauki

# Składnik losowy zarobków
epsilon <- rnorm(n, sd = 1)

# Zarobki: prawdziwy efekt edukacji = 0.50
# Zdolności też wpływają bezpośrednio na zarobki!
wage <- 2 + 0.50 * education + 1.2 * ability + epsilon
# β₁ = 0.50: rok nauki → +500 zł/miesiąc (efekt przyczynowy)
# ability → zarobki: to NIE jest efekt edukacji, lecz zdolności

# Zestaw danych widziany przez badacza (ability NIEOBSERWOWALNE)
df <- data.frame(
  wage     = wage,      # miesięczne wynagrodzenie
  educ     = education, # lata edukacji
  dist     = distance   # odległość od uczelni
)

# Weryfikacja korelacji instrumentu
cat("Korelacja dist ~ educ:   ", round(cor(distance, education), 3), "\n")
# Oczekujemy: ujemna (~-0.37), bliżej = więcej nauki
cat("Korelacja dist ~ ability:", round(cor(distance, ability),   3), "\n")
# Oczekujemy: ~0.00, instrument egzogeniczny

Estymacja MNK — obciążona

# ============================================================
# MNK: regresja wage na educ (bez kontroli za ability)
# ============================================================
# UWAGA: ability tkwi w składniku losowym i koreluje z educ
# → estymator będzie obciążony w górę
ols_model <- lm(wage ~ educ, data = df)

cat("=== MNK (obciążony) ===\n")
coeftest(ols_model, vcov = vcovHC(ols_model, type = "HC1"))
# Oczekiwany wynik: nachylenie ≈ 0.85 (prawda: 0.50)
# Przeszacowanie wynika z dodatniej korelacji educ z ability

cat("\nPrawdziwy β₁:  0.500\n")
cat("MNK β̂₁:      ", round(coef(ols_model)["educ"], 3), "\n")
cat("Obciążenie:   ", round(coef(ols_model)["educ"] - 0.50, 3), "\n")

Regresja pierwszego etapu

# ============================================================
# Pierwszy etap: educ ~ dist
# Sprawdzamy czy instrument wpływa na edukację
# ============================================================
first_stage <- lm(educ ~ dist, data = df)

cat("=== Pierwszy etap ===\n")
coeftest(first_stage, vcov = vcovHC(first_stage, type = "HC1"))
# Oczekujemy: β̂(dist) ≈ -0.06, ujemne (bliżej = więcej nauki)

# Statystyka F dla siły instrumentu
# H₀: dist nie wpływa na educ (instrument nieistotny)
f_test <- linearHypothesis(
  first_stage,
  "dist = 0",                                  # testujemy tę hipotezę
  vcov. = vcovHC(first_stage, type = "HC1")    # odporne na heterosked.
)
cat("\nF-statystyka pierwszego etapu:", round(f_test[2, "F"], 1), "\n")
# Oczekujemy: F >> 10 (mocny instrument)

# Dopasowane wartości: egzogeniczna część edukacji
df$educ_hat <- fitted(first_stage)

# Weryfikacja: czy X̂ jest niezwiązane ze zdolnościami?
cat("Korelacja educ_hat ~ ability:", round(cor(df$educ_hat, ability), 3), "\n")
# Oczekujemy: ~0.00, rzut na Z usuwa korelację z ability

Estymacja IV/2SLS — prawidłowa

# ============================================================
# IV/2SLS: ivreg(wynik ~ regresor | instrument)
# ============================================================
iv_model <- ivreg(
  wage ~ educ |   # model strukturalny: wage na educ
    dist,         # po "|": instrument dla endogenicznego educ
  data = df
)

# Pełne wyniki z testami diagnostycznymi
cat("=== IV/2SLS z diagnostykami ===\n")
summary(iv_model, diagnostics = TRUE)
# Testy dostępne automatycznie:
# • Weak instruments  — F-test pierwszego etapu
# • Wu-Hausman       — czy educ jest endogeniczne?
# • Sargan           — czy instrument jest egzogeniczny? (tylko nadident.)

# Wyniki z odpornymi błędami standardowymi
cat("\n=== IV z odpornymi SE (HC1) ===\n")
coeftest(iv_model, vcov = vcovHC(iv_model, type = "HC1"))

# Podsumowanie
cat("\n--- Porównanie ---\n")
cat("Prawdziwy β₁:  0.500\n")
cat("MNK  β̂₁:     ", round(coef(ols_model)["educ"], 3), "\n")
cat("IV   β̂₁:     ", round(coef(iv_model)["educ"],  3), "\n")

Tabela porównawcza

# ============================================================
# Tabela MNK vs IV (gotowa do raportu)
# ============================================================
modelsummary(
  list("(1) MNK — obciążony" = ols_model,
       "(2) IV / 2SLS"       = iv_model),
  vcov        = "HC1",
  stars       = c("*" = .10, "**" = .05, "***" = .01),
  coef_rename = c("educ" = "Lata nauki (β₁)"),
  gof_map     = c("nobs", "r.squared"),
  title       = "Wpływ edukacji na wynagrodzenie: MNK vs IV",
  notes       = "Odporne błędy standardowe HC1 w nawiasach."
)

Symulacja Monte Carlo: 1000 replikacji

# ============================================================
# Symulacja Monte Carlo: rozkład estymatora w powtarzanych
# próbkach
# ============================================================
set.seed(42)
n_rep    <- 1000          # liczba replikacji Monte Carlo
n_mc     <- 500           # rozmiar każdej próby
beta_ols <- numeric(n_rep) # przechowamy szacunki MNK
beta_iv  <- numeric(n_rep) # przechowamy szacunki IV

for (s in seq_len(n_rep)) {
  # Generujemy nową próbę o tym samym mechanizmie
  a_s  <- rnorm(n_mc)                             # zdolności
  z_s  <- runif(n_mc, 0, 50)                      # instrument
  x_s  <- 16 - 0.06*z_s + 0.8*a_s + rnorm(n_mc)  # edukacja
  y_s  <- 2 + 0.50*x_s + 1.2*a_s + rnorm(n_mc)   # zarobki

  # Estymaty w tej replikacji
  beta_ols[s] <- coef(lm(y_s ~ x_s))["x_s"]
  beta_iv[s]  <- coef(ivreg(y_s ~ x_s | z_s))["x_s"]
}

# Wyniki symulacji
cat("=== Symulacja Monte Carlo (%d replikacji) ===\n", n_rep)
cat("Prawdziwy β₁:       0.500\n")
cat("Średni szacunek MNK:", round(mean(beta_ols), 3), "\n")
cat("Średni szacunek IV: ", round(mean(beta_iv),  3), "\n")
cat("Odch. std. MNK:     ", round(sd(beta_ols), 3), "\n")
cat("Odch. std. IV:      ", round(sd(beta_iv),  3), "\n")
# Wnioski:
# • MNK: skupiony wokół ~0.85 — obciążony (dużo powyżej 0.50)
# • IV:  skupiony wokół ~0.50 — zgodny (blisko prawdy)
# • IV ma większą wariancję niż MNK — to koszt zgodności

Badanie empiryczne: Card (1995) — zwrot z edukacji

Kontekst i pytanie badawcze

David Card (1995) postawił pytanie: jaki jest przyczynowy wpływ edukacji na zarobki?

Dane: National Longitudinal Survey of Young Men (NLSYM), USA. Mężczyźni urodzeni 1947–53, obserwowani do 1976 roku. Kluczowe zmienne:

• log(wage) — logarytm tygodniowego wynagrodzenia (1976),
• education — lata nauki (1976),
• distance — odległość od najbliższego czteroletniego college’u (w dziesiątkach mil, ok. 1966),
• kontrole: doświadczenie, doświadczenie², region, rasa, wykształcenie rodziców.

Model Mincera:

Problem i uzasadnienie instrumentu

Standardowy estymator MNK daje $\hat{\beta}_1 \approx 0{,}073$ (7,3% wyższe zarobki za rok nauki). Jednak $\text{Educ}_i$ jest endogeniczne — zdolności trafiają do $u_i$ i korelują z edukacją.

Instrument: zmienna nearc — bliskość czteroletniego college’u w dzieciństwie.

Uzasadnienie istotności: Card pokazuje w pierwszym etapie, że bliskość college’u przekłada się na więcej lat nauki.

Uzasadnienie egzogeniczności: Lokalizacja college’u wyznaczana jest przez decyzje historyczne (fundacje, politykę oświatową stanu) — niezwiązaną ze zdolnościami poszczególnych uczniów. Card włącza kontrole za urbanizację i region, by wyeliminować korelację miejska–wiejska.

Implementacja w R

library(AER)
data("CollegeDistance")    # dane Card (1995) z pakietu AER

# Przegląd danych
cat("Wymiary:", dim(CollegeDistance), "\n")
# distance: odległość od college'u (dziesiątki mil)

# Tworzymy zmienną binarną bliskości
CollegeDistance$nearc <- as.integer(CollegeDistance$distance < 0.5)
cat("Udział blisko college'u:", round(mean(CollegeDistance$nearc), 3), "\n")

# MNK (obciążony)
ols_card <- lm(
  log(wage) ~ education + experience + I(experience^2) + ethnicity + south,
  data = CollegeDistance
)

# IV — instrument: nearc
# Ważne: zmienne egzogeniczne po OBU stronach "|"
iv_card <- ivreg(
  log(wage) ~
    education + experience + I(experience^2) + ethnicity + south |
    nearc     + experience + I(experience^2) + ethnicity + south,
  data = CollegeDistance
)

# Wyniki
cat("\nMNK  β(education):", round(coef(ols_card)["education"], 4), "\n")
cat("IV   β(education):", round(coef(iv_card)["education"],  4), "\n")

# Diagnostyki
s <- summary(iv_card, diagnostics = TRUE)
cat("F pierwszego etapu:", round(s$diagnostics["Weak instruments", "statistic"], 1), "\n")
cat("p-value Hausmana:  ", round(s$diagnostics["Wu-Hausman", "p-value"], 4), "\n")

Interpretacja wyników

Typowe wyniki zbliżone do Card (1995):

Nieoczekiwany wynik: szacunek IV przewyższa szacunek MNK. Zjawisko to może wynikać z co najmniej trzech przyczyn:

1. LATE dla compliers: Estymator IV identyfikuje efekt dla osób, w przypadku których bliskość college’u zmieniła decyzję edukacyjną — najczęściej osób z niższych warstw społecznych, dla których dostęp do wyższego wykształcenia stanowił realną barierę. Krańcowy zwrot z edukacji dla tej grupy może być wyższy niż dla populacji ogólnej.

2. Obciążenie MNK w dół przez błąd pomiaru: Zdolności, częściowo mierzone przez inne obserwowalne zmienne, mogą być mierzone z błędem. Atenuacja → niedoszacowanie MNK.

3. Heterogeniczne zwroty: Jeżeli osoby o niższych zdolnościach mają wyższy krańcowy zwrot z edukacji (co jest możliwe przy malejących krańcowych produktach), IV identyfikuje wyższy zwrot dla tej właśnie grupy.

Najczęstsze błędy

Mylenie korelacji z przyczynowością

Błąd: Regresja $Y$ na $X$ mierzy efekt przyczynowy $X$ na $Y$.

Prawda: Regresja mierzy statystyczne powiązanie, a nie zależność przyczynową. Szpitale o wyższej śmiertelności zatrudniają więcej lekarzy — nie dlatego, że lekarze szkodzą pacjentom, lecz dlatego, że do lepiej wyposażonych placówek trafiają osoby w cięższym stanie klinicznym.

Sensowna narracja wystarczy za instrument

Błąd: Proponuję instrument, bo mogę opowiedzieć historię, dlaczego wpływa na $X$.

Prawda: Warunek egzogeniczności wymaga weryfikacji wszystkich kanałów wpływu $Z$ na $Y$. Jeden nieoczywisty bezpośredni kanał przekreśla całą analizę. Poziom wykształcenia rodzica to przykład instrumentu pozornie atrakcyjnego dla edukacji dziecka: rzeczywiście wpływa na czas nauki potomka (warunek istotności: spełniony), lecz oddziałuje również bezpośrednio na zarobki dziecka — poprzez genetyczne przekazanie zdolności i przez środowisko wychowawcze (warunek egzogeniczności: naruszony).

Istotność statystyczna = mocny instrument

Błąd: „Mój instrument jest istotny na poziomie 5%, więc jest mocny."

Prawda: Przy $n = 2000$ nawet korelacja $r = 0{,}02$ może być istotna statystycznie, choć instrument pozostaje słaby. Kryterium siły instrumentu jest $F$-statystyka pierwszego etapu, nie sama istotność statystyczna współczynnika.

Ręczna 2SLS z błędami standardowymi z drugiego etapu

Błąd: „Przeprowadzam 2SLS ręcznie: pierwsza regresja, potem druga z $\hat{X}$."

Prawda: Błędy standardowe z ręcznej 2SLS są zaniżone, bo nie uwzględniają niepewności z pierwszego etapu. Prowadzi to do fałszywie istotnych wyników. Używaj ivreg().

Test Sargana jako certyfikat egzogeniczności

Błąd: „Sargan nie odrzucił $H_0$ → moje instrumenty są egzogeniczne."

Prawda: Test Sargana ma ograniczoną moc. Nieodrzucenie $H_0$ nie stanowi dowodu egzogeniczności. Egzogeniczność jest argumentem merytorycznym i instytucjonalnym, nie wynikiem testu statystycznego.

IV jako efekt dla całej populacji

Błąd: „Mój wynik IV = 0,13 to przyczynowy efekt edukacji dla populacji."

Prawda: Wynik IV to LATE — efekt dla compliers w kontekście konkretnego instrumentu. Dla innego instrumentu LATE może być inne (inna populacja compliers).

Mechaniczne stosowanie IV bez potrzeby

Błąd: „IV jest zawsze lepsze od MNK."

Prawda: Estymator IV jest uzasadniony wyłącznie wówczas, gdy $X$ jest endogeniczne. Gdy $X$ jest egzogeniczne, estymator MNK jest efektywniejszy — cechuje się mniejszą wariancją przy zachowaniu zgodności. Wybór metody powinien wynikać z analizy merytorycznej, a nie z mechanicznego stosowania procedury.

Procedura badawcza

1. Sformułuj pytanie przyczynowe. Zidentyfikuj zmienną wynikową $Y$ i zmienną przyczynową $X$.
2. Wyjaśnij, dlaczego $X$ może być endogeniczna. Wskaż pominięte zmienne, jednoczesność lub błąd pomiaru.
3. Zaproponuj instrument $Z$. Uzasadnij merytorycznie i mechanicznie warunek istotności $\text{Cov}(Z,X) \neq 0$.
4. Uzasadnij warunek egzogeniczności $\text{Cov}(Z,u) = 0$. Sprawdź wszystkie możliwe bezpośrednie kanały $Z \to Y$.
5. Oszacuj pierwszy etap. Sprawdź $F$-statystykę. Jeżeli $F < 10$ — przystanij.
6. Oszacuj 2SLS za pomocą specjalistycznej funkcji. Użyj odpornych błędów standardowych.
7. Wykonaj test Hausmana (endogeniczność) i test Sargana (jeżeli model nadidentyfikowany).
8. Zinterpretuj współczynnik jako LATE dla compliers w kontekście konkretnego instrumentu.
9. Przeprowadź analizę wrażliwości: inne instrumenty (o ile dostępne), różne specyfikacje, podgrupy.
10. Porównaj MNK z IV. Wyjaśnij merytorycznie kierunek i wielkość rozbieżności.
11. Napisz wniosek ostrożnie, wskazując ograniczenia: co identyfikujesz (LATE, nie ATE), dla kogo (compliers) i pod jakim warunkiem (egzogeniczność instrumentu).

Podsumowanie

Zmienne instrumentalne są metodą identyfikacji efektów przyczynowych w sytuacji, gdy zmienna objaśniająca jest endogeniczna. Problem endogeniczności oznacza, że zmienna objaśniająca jest skorelowana ze składnikiem losowym — najczęściej wskutek pominiętych zmiennych, jednoczesności lub błędu pomiaru.

Instrument musi spełniać dwa warunki. Musi być istotny (skorelowany ze zmienną endogeniczną) — warunek weryfikowalny przez pierwszą regresję. Musi być egzogeniczny (nieskorelowany ze składnikiem losowym) — warunek wymagający argumentacji teoretycznej i instytucjonalnej, a nie tylko testu statystycznego.

Dwustopniowa metoda najmniejszych kwadratów działa przez rzut zmiennej endogenicznej na przestrzeń instrumentów, a następnie użycie tego rzutu w równaniu wyniku. Estymator IV jest zgodny, ale ma większą wariancję niż MNK.

W warunkach heterogenicznych efektów leczenia, IV nie mierzy przeciętnego efektu dla całej populacji, lecz lokalny średni efekt oddziaływania — efekt dla tych jednostek, których zachowanie zmienia się pod wpływem instrumentu.

Najważniejsza konkluzja niniejszego rozdziału brzmi: IV nie jest zabiegiem obliczeniowym, lecz argumentem identyfikacyjnym. Jakość wyniku zależy w pierwszej kolejności od tego, czy instrument rzeczywiście dostarcza wiarygodnej, zewnętrznej zmienności — a dopiero w drugiej od poprawności technicznej implementacji.

Lista kontrolna dla badacza

☐ Czy mam merytoryczne uzasadnienie dla warunku istotności?
☐ Czy przeanalizowałem wszystkie możliwe bezpośrednie kanały $Z \to Y$?
☐ Czy $F$-statystyka pierwszego etapu jest większa od 10?
☐ Czy używam ivreg(), a nie ręcznej 2SLS (dla prawidłowych błędów SE)?
☐ Czy raportując błędy standardowe używam korekty HC?
☐ Czy przy nadidentyfikacji przeprowadziłem test Sargana?
☐ Czy interpretuję wynik jako LATE, a nie ATE?
☐ Czy przeprowadziłem analizę wrażliwości?
☐ Czy porównałem MNK z IV i wyjaśniłem merytorycznie rozbieżność?

Odpowiedzi do pytań kontrolnych

Odpowiedź 3.1. Obciążenie jest w górę (+). Zdolności wpływają dodatnio na zarobki ($\gamma > 0$) i są dodatnio skorelowane z edukacją. Obciążenie $= \gamma \cdot \text{Cov}(\text{Educ}, \text{Ability})/\text{Var}(\text{Educ}) > 0$. MNK przeszacowuje $\beta_1$.

Odpowiedź 3.2. $\operatorname{plim}\hat{\beta}_1^{\text{MNK}} = \beta_1 + \text{Cov}(X,u)/\text{Var}(X)$. Gdy $\text{Cov}(X,u) = 0$, to $\operatorname{plim}\hat{\beta}_1^{\text{MNK}} = \beta_1 + 0 = \beta_1$. ✓

Zadania

Zadanie 1. Reforma edukacyjna zwiększyła przeciętną edukację o 0,25 roku i przeciętne wynagrodzenie o 150 zł. Oblicz estymator IV. Zinterpretuj wynik.

Odpowiedź: $\hat{\beta}^{\text{IV}} = 150/0{,}25 = 600$ zł za rok nauki.

Zadanie 2. Instrument ma statystykę $F$ pierwszego etapu równą 3,2. Co to oznacza? Jakie są konsekwencje dla wyników IV?

Odpowiedź: Instrument jest prawdopodobnie słaby. Wyniki IV mogą być silnie obciążone w kierunku MNK. Testy hipotez mają zniekształcony rozmiar. Należy poszukać silniejszego instrumentu lub zastosować metody odporne na słabą identyfikację (LIML, jackknife IV).

Zadanie 3. Dlaczego instrument nie może wpływać bezpośrednio na zmienną wynikową?

Odpowiedź: Jeżeli instrument wpływa na wynik inną drogą niż przez zmienną endogeniczną, warunek egzogeniczności jest naruszony. Estymator IV miesza wówczas efekt $X$ z bezpośrednim efektem $Z$ na $Y$ i nie identyfikuje $\beta_1$.

Zadanie 4 (komputerowe). Zmodyfikuj symulację z rozdziału 12 tak, żeby siła instrumentu wynosiła $-0{,}005$ zamiast $-0{,}06$ (słaby instrument). Ile wynosi $F$ pierwszego etapu? Jak zmienia się precyzja estymatora IV? Czy szacunek zbliżył się do obciążonego MNK?

Bibliografia

Acemoglu, Daron, Simon Johnson i James A. Robinson. 2001. „The Colonial Origins of Comparative Development: An Empirical Investigation". American Economic Review 91 (5): 1369–1401.

Angrist, Joshua D. 1990. „Lifetime Earnings and the Vietnam Era Draft Lottery: Evidence from Social Security Administrative Records". American Economic Review 80 (3): 313–336.

Angrist, Joshua D. i Alan B. Krueger. 1991. „Does Compulsory School Attendance Affect Schooling and Earnings?" Quarterly Journal of Economics 106 (4): 979–1014.

Angrist, Joshua D. i Jörn-Steffen Pischke. 2009. Mostly Harmless Econometrics: An Empiricist’s Companion. Princeton University Press.

Bound, John, David A. Jaeger i Regina M. Baker. 1995. „Problems with Instrumental Variables Estimation When the Correlation Between the Instruments and the Endogenous Explanatory Variable Is Weak". Journal of the American Statistical Association 90 (430): 443–450.

Card, David. 1995. „Using Geographic Variation in College Proximity to Estimate the Return to Schooling". W: L. Christofides i in. (red.), Aspects of Labour Market Behaviour. Toronto: University of Toronto Press.

Greene, William H. 2018. Econometric Analysis. 8th ed. Pearson.

Hansen, Lars Peter. 1982. „Large Sample Properties of Generalized Method of Moments Estimators". Econometrica 50 (4): 1029–1054.

Hayashi, Fumio. 2000. Econometrics. Princeton University Press.

Imbens, Guido W. i Joshua D. Angrist. 1994. „Identification and Estimation of Local Average Treatment Effects". Econometrica 62 (2): 467–475.

Lee, David S., Justin McCrary, Marcelo J. Moreira i Jack Porter. 2022. „Valid t-ratio Inference for IV". American Economic Review 112 (10): 3260–3290.

Sargan, J. Denis. 1958. „The Estimation of Economic Relationships Using Instrumental Variables". Econometrica 26 (3): 393–415.

Staiger, Douglas i James H. Stock. 1997. „Instrumental Variables Regression with Weak Instruments". Econometrica 65 (3): 557–586.

Stock, James H. i Mark W. Watson. 2020. Introduction to Econometrics. 4th ed. Pearson.

Stock, James H. i Motohiro Yogo. 2005. „Testing for Weak Instruments in Linear IV Regression". W: D. Andrews i J. Stock (red.), Identification and Inference for Econometric Models. Cambridge University Press.

Wooldridge, Jeffrey M. 2010. Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data. 2nd ed. MIT Press.

Dalej: Modele panelowe i efekty stałe · Difference-in-Differences · Heteroskedastyczność i odporne estymatory