Całka Lebesgue'a

Streszczenie

Całka, która całkuje po wartościach, a nie po dziedzinie: idea Lebesgue'a i porównanie z Riemannem, funkcje proste i ich całka, całka funkcji mierzalnej nieujemnej i dowolnej, przestrzeń funkcji całkowalnych, twierdzenia graniczne (o zbieżności monotonicznej, lemat Fatou, o zbieżności zdominowanej), funkcja Dirichleta, pojęcie „prawie wszędzie”, wartość oczekiwana jako całka oraz przestrzenie Lp. Każde twierdzenie z dowodem lub szkicem i rysunkiem — zwieńczenie podręcznika.

Całka Lebesgue’a stanowi istotne wzmocnienie całki Riemanna. Jej zasadnicza idea polega na tym, że zamiast kroić dziedzinę na cienkie pionowe paski (Riemann), kroimy zbiór wartości na poziome warstwy i pytamy, jak duży (w sensie miary) jest zbiór argumentów dający wartości w danej warstwie. Dzięki temu całkujemy funkcje, których Riemann nie obejmuje, a przede wszystkim — całka swobodnie przechodzi przez granice ciągów funkcyjnych. To właśnie czyni ją językiem teorii prawdopodobieństwa: wartość oczekiwana, wariancja i estymatory ekonometryczne to całki Lebesgue’a. Ten ostatni rozdział wieńczy podręcznik, łącząc teorię miary z całkowaniem.

Idea Lebesgue’a

Kroić wartości, nie dziedzinę.

Riemann sumuje $\sum f(\xi_i)\,\Delta x_i$ — dzieli oś $x$. Lebesgue sumuje $\sum y_j\,\mu\big(\{x : f(x)\approx y_j\}\big)$ — dzieli oś $y$ i waży każdą wartość miarą zbioru, na którym jest osiągana. Obrazowo: licząc stos monet, Riemann idzie po kolei, a Lebesgue najpierw sortuje monety według nominału, a potem mnoży nominał przez liczność.

Porównanie cięcia dziedziny (Riemann) i wartości (Lebesgue) — Dwie filozofie całkowania: Riemann tnie dziedzinę na pionowe paski (po lewej), Lebesgue tnie zbiór wartości na poziome warstwy i mierzy zbiór argumentów w każdej z nich (po prawej). Ta druga droga radzi sobie z funkcjami, które „skaczą” zbyt gęsto dla Riemanna.

Budowa całki

Definicja

Funkcja prosta i jej całka

Funkcją prostą nazywamy skończoną kombinację indykatorów zbiorów mierzalnych $s=\sum_{i=1}^k c_i\,\mathbf{1}_{A_i}$ (przyjmuje skończenie wiele wartości). Jej całkę definiujemy naturalnie:

$$ \int s\,d\mu=\sum_{i=1}^k c_i\,\mu(A_i). $$

To „pole” schodkowej figury, gdzie szerokość mierzymy miarą $\mu$, a nie długością.

Funkcja prosta o skończonej liczbie wartości i jej całka — Funkcja prosta przyjmuje skończenie wiele wartości $c_i$ na zbiorach mierzalnych $A_i$. Jej całka to suma $\sum c_i\,\mu(A_i)$ — wysokość razy „rozmiar” poziomu. Z takich cegiełek zbudujemy całkę dowolnej funkcji.

Definicja

Całka funkcji mierzalnej nieujemnej

Dla mierzalnej $f\ge 0$ definiujemy całkę jako kres górny całek funkcji prostych podpierających $f$ od dołu:

$$ \int f\,d\mu=\sup\Big\{\int s\,d\mu : 0\le s\le f,\ s\text{ prosta}\Big\}. $$

Przybliżamy $f$ coraz lepszymi schodkami od dołu i bierzemy granicę.

Funkcja nieujemna przybliżana od dołu funkcjami prostymi — Całka funkcji nieujemnej jako kres górny: aproksymujemy $f$ od dołu funkcjami prostymi (schodkami) o coraz większej całce. Granica tych przybliżeń to całka Lebesgue’a — zawsze dobrze określona (choć może być $+\infty$).

Definicja

Funkcja całkowalna (przestrzeń L¹)

Dowolną mierzalną $f$ rozkładamy na część dodatnią i ujemną: $f=f^+-f^-$, gdzie $f^+=\max(f,0)$, $f^-=\max(-f,0)$. Kładziemy

$$ \int f\,d\mu=\int f^+\,d\mu-\int f^-\,d\mu, $$

o ile obie są skończone — wtedy $f$ jest całkowalna, $f\in L^1$. Równoważnie: $\int|f|\,d\mu\lt\infty$.

Rozkład funkcji na część dodatnią i ujemną — Rozkład $f=f^+-f^-$: część dodatnia (nad osią) i część ujemna (odbita do góry) całkowane są osobno, a wynik to ich różnica. Funkcja jest całkowalna, gdy obie części mają skończone pole — czyli $\int|f|\lt\infty$.

Twierdzenia graniczne

To dla nich warto było budować całkę Lebesgue’a: pozwalają zamieniać miejscami granicę i całkę — czego Riemann zwykle nie umie.

Twierdzenie

Twierdzenie o zbieżności monotonicznej (Lebesgue, Beppo Levi)

Jeśli $0\le f_1\le f_2\le\cdots$ i $f_n\to f$ punktowo, to

$$ \int f_n\,d\mu\longrightarrow\int f\,d\mu. $$

Dla rosnących ciągów nieujemnych granica i całka są przemienne.

Dowód

Szkic dowodu MCT

Łatwa nierówność. Z monotoniczności całki ciąg $\int f_n$ rośnie i $\int f_n\le\int f$, więc $\lim\int f_n\le\int f$.
Trudniejsza nierówność. Ustalmy prostą $0\le s\le f$ i $c\in(0,1)$. Zbiory $E_n=\{x: f_n(x)\ge c\,s(x)\}$ rosną do całej przestrzeni (bo $f_n\to f\ge s\gt cs$).
Ciągłość miary z dołu. $\int f_n\ge\int_{E_n} c\,s = c\int_{E_n}s\to c\int s$ (rozdział 11, ciągłość z dołu).
Przejścia graniczne. Stąd $\lim\int f_n\ge c\int s$ dla każdego $c\lt 1$ i każdej prostej $s\le f$. Biorąc $c\to 1$ i kres górny po $s$, dostajemy $\lim\int f_n\ge\int f$. Obie nierówności dają równość. $\;$

∎

Rosnący ciąg funkcji o całkach zbiegających do całki granicy — Zbieżność monotoniczna: rosnący ciąg funkcji $f_n\uparrow f$ ma całki rosnące do $\int f$. Każde przybliżenie dokłada „warstwę” pola, a w granicy odzyskujemy pełną całkę — granica i całka są przemienne.

Twierdzenie

Lemat Fatou

Dla dowolnych mierzalnych $f_n\ge 0$:

$$ \int\liminf_{n}f_n\,d\mu\le\liminf_{n}\int f_n\,d\mu. $$

„Masa” może w granicy uciec, ale nie może się znikąd pojawić.

Przemieszczający się garb ilustrujący lemat Fatou — Lemat Fatou: gdy ciąg funkcji oscyluje, część pola może „uciec do nieskończoności” (przemieszczający się garb). Całka dolnej granicy nie przekracza dolnej granicy całek — masa bywa tracona, nigdy zyskiwana znikąd.

Twierdzenie

Twierdzenie o zbieżności zdominowanej (Lebesgue)

Jeśli $f_n\to f$ prawie wszędzie i istnieje całkowalna majoranta $g\in L^1$ z $|f_n|\le g$ dla wszystkich $n$, to $f\in L^1$ oraz

$$ \int f_n\,d\mu\longrightarrow\int f\,d\mu. $$

Dowód

Szkic: dwukrotne zastosowanie lematu Fatou

Funkcje nieujemne. Ciągi $g+f_n\ge 0$ oraz $g-f_n\ge 0$ są nieujemne (bo $|f_n|\le g$).
Fatou do $g+f_n$. $\int(g+f)\le\liminf\int(g+f_n)$, skąd po odjęciu $\int g$: $\int f\le\liminf\int f_n$.
Fatou do $g-f_n$. Analogicznie $\int(g-f)\le\liminf\int(g-f_n)$ daje $\int f\ge\limsup\int f_n$.
Zaciśnięcie. Łącznie $\limsup\int f_n\le\int f\le\liminf\int f_n$, więc granica istnieje i równa się $\int f$. Majoranta $g$ „trzyma masę”, uniemożliwiając jej ucieczkę. $\;$

∎

Ciąg funkcji ograniczony przez wspólną całkowalną majorantę — Zbieżność zdominowana: jeśli wszystkie $f_n$ mieszczą się pod jedną całkowalną majorantą $g$ (i pod $-g$), to nic nie ucieka i granica całek równa się całce granicy. Wspólny „dach” $g$ jest warunkiem, którego brakuje w lemacie Fatou.

Lebesgue kontra Riemann

Twierdzenie

Zgodność z całką Riemanna i funkcja Dirichleta

Każda funkcja całkowalna w sensie Riemanna jest całkowalna w sensie Lebesgue’a i obie całki są równe. Lebesgue obejmuje jednak więcej funkcji: indykator liczb wymiernych $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ (funkcja Dirichleta) nie jest całkowalny w sensie Riemanna, lecz jego całka Lebesgue’a wynosi $0$.

Dowód

Całka funkcji Dirichleta na $[0,1]$

Riemann zawodzi. W każdym podprzedziale są liczby wymierne i niewymierne, więc każda suma górna wynosi $1$, a dolna $0$ — nie mają wspólnej granicy. Funkcja **nie** jest całkowalna w sensie Riemanna.
Lebesgue działa. $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ to indykator zbioru mierzalnego, więc jest funkcją prostą: $$\int_0^1\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\,dm=1\cdot m\big(\mathbb{Q}\cap[0,1]\big).$$
Miara wymiernych. Z rozdziału 11 zbiór $\mathbb{Q}$ jest przeliczalny, więc ma miarę $0$.
Wynik. Zatem $\int_0^1\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\,dm=1\cdot 0=0$. Lebesgue „widzi”, że wymierne są zaniedbywalne, a Riemann nie. $\;$

∎

Funkcja Dirichleta równa jeden na wymiernych i zero na niewymiernych — Funkcja Dirichleta $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$: równa $1$ na (gęstych, lecz przeliczalnych) wymiernych i $0$ na niewymiernych. Dla Riemanna jest skrajnie nieciągła, lecz Lebesgue widzi, że wymierne mają miarę zero, więc całka wynosi $0$.

Definicja

Własność „prawie wszędzie”

Mówimy, że własność zachodzi prawie wszędzie (p.w.), gdy zbiór punktów, w których zawodzi, ma miarę zero. Funkcje równe p.w. mają tę samą całkę — całka Lebesgue’a ignoruje zbiory miary zero. To dlatego w teorii prawdopodobieństwa utożsamiamy zmienne losowe równe z prawdopodobieństwem $1$.

Dwie funkcje równe poza zbiorem miary zero o tej samej całce — „Prawie wszędzie”: dwie funkcje różniące się tylko na zbiorze miary zero (tu w pojedynczych punktach) mają identyczną całkę Lebesgue’a. Modyfikacja wartości na zbiorze zaniedbywalnym jest dla całki niewidoczna.

Zastosowanie: wartość oczekiwana i przestrzenie Lᵖ

Przykład

Wartość oczekiwana jako całka Lebesgue'a

W przestrzeni probabilistycznej $(\Omega,\mathcal{F},P)$ wartość oczekiwana zmiennej losowej $X$ to całka Lebesgue’a względem miary $P$:

$$ \mathbb{E}[X]=\int_\Omega X\,dP. $$

Stąd wariancja $\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}X)^2]$, momenty i estymatory ekonometryczne — wszystko to całki Lebesgue’a. Twierdzenia graniczne (MCT, DCT) uzasadniają zamianę granicy z wartością oczekiwaną, kluczową w dowodach zgodności estymatorów.

Wartość oczekiwana jako środek ciężkości rozkładu — Wartość oczekiwana $\mathbb{E}[X]=\int_\Omega X\,dP$ to środek ciężkości rozkładu — całka Lebesgue’a zmiennej losowej względem prawdopodobieństwa. Dla gęstości $f$ przybiera znaną postać $\int x\,f(x)\,dx$, lecz definicja przez miarę obejmuje też rozkłady dyskretne i mieszane.

Definicja

Przestrzenie Lᵖ

Dla $p\ge 1$ przestrzeń $L^p$ to zbiór funkcji mierzalnych z $\int|f|^p\,d\mu\lt\infty$, z normą $\lVert f\rVert_p=\big(\int|f|^p\,d\mu\big)^{1/p}$. Są to przestrzenie Banacha (zupełne — twierdzenie Riesza-Fischera), a $L^2$ jest przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym $\langle f,g\rangle=\int fg\,d\mu$. To w $L^2$ żyje rzut ortogonalny stojący za metodą najmniejszych kwadratów.

Hierarchia przestrzeni Lp z wyróżnioną przestrzenią Hilberta L2 — Przestrzenie $L^p$ jako kompletna struktura: $L^1$ (funkcje całkowalne), $L^2$ (kwadratowo całkowalne — przestrzeń Hilberta z iloczynem skalarnym) i $L^\infty$ (zasadniczo ograniczone). $L^2$ jest sceną dla rzutu ortogonalnego i metody najmniejszych kwadratów.

Podsumowanie rozdziału i całego kursu

Całka Lebesgue’a — całkująca „po wartościach” — okazała się potężniejsza od całki Riemanna: obejmuje funkcje silnie nieciągłe (jak funkcja Dirichleta), ignoruje zbiory miary zero i, co najważniejsze, przepuszcza granice dzięki twierdzeniom o zbieżności monotonicznej i zdominowanej oraz lematowi Fatou. Zbudowaliśmy ją od funkcji prostych, przez funkcje nieujemne, po przestrzeń $L^1$, a jej zwieńczeniem jest wartość oczekiwana i przestrzenie $L^p$ — fundament teorii prawdopodobieństwa i ekonometrii.

Tym samym domyka się cały podręcznik. Wyszliśmy od logiki i zbiorów, zbudowaliśmy przestrzenie metryczne i pojęcie granicy (ciągów, szeregów, funkcji), rozwinęliśmy rachunek różniczkowy jednej i wielu zmiennych wraz z optymalizacją i analizą wypukłą, przeszliśmy przez całkę Riemanna i równania różniczkowe, by w ostatnich dwóch rozdziałach dotrzeć do teorii miary i całki Lebesgue’a. Te ostatnie nie są abstrakcją dla samej abstrakcji — to dokładnie język, w którym formułuje się estymatory, ich zgodność i asymptotyczną normalność. Analiza matematyczna okazała się więc nie zbiorem oderwanych twierdzeń, lecz spójnym rusztowaniem całej ekonometrii: od pojęcia funkcji, przez pochodną i całkę, aż po przestrzeń Hilberta $L^2$, w której mieszka metoda najmniejszych kwadratów.