Funkcje zbioru, algebra zbiorów i miara Lebesgue'a

Streszczenie

Dlaczego całka Riemanna nie wystarcza i jak teoria miary ją zastępuje: algebry i sigma-algebry zbiorów, miara jako przeliczalnie addytywna funkcja zbioru, jej własności (monotoniczność, ciągłość), miara zewnętrzna i konstrukcja miary Lebesgue'a, mierzalność w sensie Carathéodory'ego, niezmienniczość translacyjna, zbiory miary zero i zbiór Cantora, funkcje mierzalne oraz przestrzeń probabilistyczna. Każde twierdzenie z dowodem i rysunkiem.

Całka Riemanna ma poważne ograniczenia: nie radzi sobie z funkcjami silnie nieciągłymi ani z granicami ciągów funkcyjnych, a w teorii prawdopodobieństwa potrzebujemy mierzyć „wielkość” bardzo nieregularnych zbiorów. Odpowiedzią jest teoria miary — abstrakcyjny sposób przypisywania zbiorom liczby (długości, pola, prawdopodobieństwa), na tyle elastyczny, by objąć przeliczalne operacje. Ten rozdział buduje pojęcie miary od σ-algebr, przez konstrukcję miary Lebesgue’a, aż po zbiory miary zero i funkcje mierzalne — wszystko po to, by w rozdziale ostatnim zdefiniować całkę Lebesgue’a, fundament nowoczesnej probabilistyki i ekonometrii.

Algebry i σ-algebry zbiorów

Definicja

Algebra i σ-algebra

Rodzina $\mathcal{F}$ podzbiorów zbioru $\Omega$ jest algebrą, gdy zawiera $\Omega$ oraz jest zamknięta na dopełnienie i skończone sumy. Jest σ-algebrą, gdy dodatkowo jest zamknięta na przeliczalne sumy: $A_1,A_2,\dots\in\mathcal{F}\Rightarrow\bigcup_n A_n\in\mathcal{F}$. Elementy $\mathcal{F}$ to zbiory mierzalne.

Sigma-algebra zamknięta na dopełnienie i sumy — σ-algebra to rodzina zbiorów „domknięta” na operacje: dopełnienie i przeliczalne sumy (a więc i przekroje). Startując od kilku zbiorów i wykonując te działania, nie wychodzimy poza rodzinę — to gwarantuje sensowność miary.

Miara

Definicja

Miara

Miarą na σ-algebrze $\mathcal{F}$ nazywamy funkcję zbioru $\mu\colon\mathcal{F}\to[0,\infty]$ taką, że $\mu(\varnothing)=0$ oraz przeliczalnie addytywną: dla parami rozłącznych $A_1,A_2,\dots$

$$ \mu\Big(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\Big)=\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n). $$

Trójkę $(\Omega,\mathcal{F},\mu)$ nazywamy przestrzenią z miarą.

Miara jako masa przypisana zbiorom — Miara przypisuje każdemu mierzalnemu zbiorowi nieujemną „masę”. Przeliczalna addytywność: masa sumy rozłącznych kawałków to suma ich mas — niezależnie od tego, czy kawałków jest skończenie, czy przeliczalnie wiele.

Rozłączne fragmenty sumujące się do miary całości — Przeliczalna addytywność: rozcinając zbiór na rozłączne fragmenty $A_1,A_2,A_3,\dots$, sumujemy ich miary, by odzyskać miarę całości. To kluczowa różnica wobec zwykłej addytywności skończonej — pozwala panować nad granicami.

Twierdzenie

Monotoniczność miary

Jeśli $A\subseteq B$ (oba mierzalne), to $\mu(A)\le\mu(B)$.

Dowód

Monotoniczność z addytywności

Rozkład rozłączny. Skoro $A\subseteq B$, mamy $B=A\cup(B\setminus A)$, przy czym $A$ i $B\setminus A$ są **rozłączne**.
Addytywność. Stąd $\mu(B)=\mu(A)+\mu(B\setminus A)$.
Nieujemność. Ponieważ $\mu(B\setminus A)\ge 0$, otrzymujemy $\mu(B)\ge\mu(A)$. Większy zbiór nie może mieć mniejszej miary. $\;$

∎

Zbiór zawarty ma mniejszą lub równą miarę — Monotoniczność: gdy $A$ tkwi w $B$, jego masa nie przekracza masy $B$, bo różnica $B\setminus A$ dokłada nieujemny wkład. Oczywiste dla pola, lecz tu wynika czysto z aksjomatów miary.

Twierdzenie

Ciągłość miary z dołu

Jeśli zbiory rosną: $A_1\subseteq A_2\subseteq\cdots$ i $A=\bigcup_n A_n$, to $\mu(A_n)\to\mu(A)$. Miara „przechodzi przez” granice wstępujących ciągów zbiorów.

Dowód

Ciągłość z dołu

Rozłączne pierścienie. Zapiszmy sumę jako rozłączną: $A=A_1\cup(A_2\setminus A_1)\cup(A_3\setminus A_2)\cup\cdots$ — każdy „pierścień” $A_{k+1}\setminus A_k$ jest rozłączny z poprzednimi.
Przeliczalna addytywność. $$\mu(A)=\mu(A_1)+\sum_{k=1}^\infty\mu(A_{k+1}\setminus A_k).$$
Suma teleskopowa. Suma częściowa do $n-1$ to dokładnie $\mu(A_n)$ (kolejne pierścienie odbudowują $A_n$). Zatem szereg ma sumy częściowe $\mu(A_n)$, więc $\mu(A)=\lim_{n}\mu(A_n)$. $\;$

∎

Wstępujący ciąg zbiorów o miarach zbiegających do miary sumy — Ciągłość z dołu: wstępujący ciąg zbiorów $A_1\subseteq A_2\subseteq\cdots$ wypełnia $A$, a ich miary rosną do $\mu(A)$. Dodawanie kolejnych pierścieni odbudowuje całość — miara śledzi ten proces w granicy.

Konstrukcja miary Lebesgue’a

Na prostej chcemy miary, która przedziałowi $[a,b]$ przypisze jego długość $b-a$. Buduje się ją przez miarę zewnętrzną.

Definicja

Miara zewnętrzna Lebesgue'a

Miarą zewnętrzną zbioru $A\subseteq\mathbb{R}$ nazywamy kres dolny łącznych długości przeliczalnych pokryć przedziałami:

$$ m^*(A)=\inf\Big\{\sum_{n}|I_n| : A\subseteq\bigcup_n I_n\Big\}, $$

gdzie $I_n$ to przedziały, a $|I_n|$ — ich długości. Definicja działa dla każdego zbioru.

Pokrycie zbioru przedziałami w definicji miary zewnętrznej — Miara zewnętrzna: zbiór $A$ pokrywamy przeliczalnie wieloma przedziałami i sumujemy ich długości. Biorąc najoszczędniejsze pokrycie (kres dolny), otrzymujemy „zewnętrzny” rozmiar $A$ — przybliżenie z góry.

Definicja

Zbiór mierzalny (kryterium Carathéodory'ego)

Zbiór $A$ jest mierzalny w sensie Lebesgue’a, gdy „rozcina” każdy zbiór testowy $E$ addytywnie:

$$ m^*(E)=m^*(E\cap A)+m^*(E\cap A^c)\qquad\text{dla każdego }E. $$

Na zbiorach mierzalnych $m^*$ jest już przeliczalnie addytywna — to miara Lebesgue’a $m$. Przedziałom przypisuje ona długość: $m([a,b])=b-a$.

Zbiór testowy rozcięty przez zbiór mierzalny na dwie części — Kryterium Carathéodory’ego: zbiór $A$ jest mierzalny, gdy dla dowolnego $E$ rozkład na część w $A$ i poza $A$ zachowuje miarę zewnętrzną. Dobre zbiory „czysto przecinają” wszystko inne — tylko one wchodzą do σ-algebry Lebesgue’a.

Twierdzenie

Niezmienniczość translacyjna

Miara Lebesgue’a jest niezmiennicza na przesunięcia: $m(A+t)=m(A)$ dla każdego $t$. Przesunięcie zbioru nie zmienia jego długości — to naturalne, lecz nietrywialne i wyróżniające miarę Lebesgue’a.

Zbiór i jego przesunięcie o tej samej mierze — Niezmienniczość translacyjna: przesunięcie zbioru o wektor $t$ nie zmienia jego miary — długość przedziału nie zależy od położenia na osi. Ta własność jednoznacznie (z dokładnością do stałej) charakteryzuje miarę Lebesgue’a.

Zbiory miary zero i zbiór Cantora

Twierdzenie

Zbiór przeliczalny ma miarę zero

Każdy zbiór przeliczalny $A=\{x_1,x_2,\dots\}\subseteq\mathbb{R}$ ma miarę Lebesgue’a zero. W szczególności $m(\mathbb{Q})=0$ — wszystkich liczb wymiernych jest „zaniedbywalnie mało”.

Dowód

Przeliczalny ⇒ miara zero

Pokrycie punktów. Ustalmy $\varepsilon\gt 0$. Punkt $x_n$ otaczamy przedziałem $I_n$ o długości $\tfrac{\varepsilon}{2^n}$.
Suma długości. Łączna długość pokrycia to $\sum_{n=1}^\infty\tfrac{\varepsilon}{2^n}=\varepsilon$ (szereg geometryczny).
Dowolnie małe. Zatem $m^*(A)\le\varepsilon$ dla **każdego** $\varepsilon\gt 0$, więc $m^*(A)=0$, czyli $m(A)=0$. Przeliczalna nieskończoność punktów może mieć zerową „długość”. $\;$

∎

Punkty pokryte przedziałami o sumarycznej długości epsilon — Zbiór miary zero: każdy z przeliczalnie wielu punktów $x_n$ przykrywamy przedziałem długości $\varepsilon/2^n$. Łączna długość to zaledwie $\varepsilon$ — dowolnie mała, więc miara zbioru punktów wynosi zero.

Twierdzenie

Zbiór Cantora ma miarę zero (a jest nieprzeliczalny)

Zbiór Cantora — powstały przez usuwanie środkowych jednej trzeciej z $[0,1]$ — ma miarę Lebesgue’a zero, choć jest nieprzeliczalny. Pokazuje, że „mały” w sensie miary nie znaczy „mało liczny”.

Dowód

Miara zbioru Cantora

Etapy konstrukcji. Po $n$ krokach pozostaje $C_n$ — suma $2^n$ przedziałów, każdy długości $3^{-n}$.
Łączna długość. $m(C_n)=2^n\cdot 3^{-n}=\big(\tfrac23\big)^n$.
Granica. Zbiór Cantora $C=\bigcap_n C_n$ spełnia $m(C)\le m(C_n)=\big(\tfrac23\big)^n$ dla każdego $n$. Ponieważ $\big(\tfrac23\big)^n\to 0$, mamy $m(C)=0$.
Nieprzeliczalność. Mimo to $C$ jest nieprzeliczalny: jego punkty to dokładnie liczby z rozwinięciem trójkowym bez cyfry $1$, których jest tyle, co ciągów zero-jedynkowych (continuum). $\;$

∎

Kolejne etapy konstrukcji zbioru Cantora — Konstrukcja zbioru Cantora: w każdym kroku usuwamy środkową jedną trzecią każdego przedziału. Łączna długość maleje jak $(2/3)^n\to 0$, więc miara zbioru granicznego jest zerowa — choć punktów pozostaje nieprzeliczalnie wiele.

Funkcje mierzalne i przestrzeń probabilistyczna

Definicja

Funkcja mierzalna

Funkcja $f\colon\Omega\to\mathbb{R}$ jest mierzalna, gdy przeciwobraz każdego przedziału (równoważnie półprostej) jest zbiorem mierzalnym:

$$ \{x : f(x)\gt a\}\in\mathcal{F}\qquad\text{dla każdego }a. $$

Mierzalność jest dla całki Lebesgue’a tym, czym ciągłość dla Riemanna — warunkiem dopuszczającym funkcję do całkowania. Granice ciągów funkcji mierzalnych są mierzalne.

Przeciwobraz półprostej jako zbiór mierzalny — Funkcja mierzalna: przeciwobraz półprostej $\{f\gt a\}$ jest zbiorem mierzalnym (tu sumą przedziałów na osi argumentów). To znacznie słabszy warunek niż ciągłość — dopuszcza funkcje silnie nieciągłe, byle ich poziomice były mierzalne.

Przykład

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna to przestrzeń z miarą $(\Omega,\mathcal{F},P)$, w której miara $P$ jest unormowana: $P(\Omega)=1$. Wtedy $\Omega$ to zbiór zdarzeń elementarnych, $\mathcal{F}$ — σ-algebra zdarzeń, $P$ — prawdopodobieństwo, a zmienna losowa to funkcja mierzalna $X\colon\Omega\to\mathbb{R}$. Cała teoria prawdopodobieństwa to teoria miary o masie całkowitej $1$.

Podsumowanie

Teoria miary nadała precyzję intuicji „rozmiaru” zbioru. σ-algebra wskazała, które zbiory są mierzalne (rodzina domknięta na dopełnienie i przeliczalne sumy), a miara — przeliczalnie addytywna funkcja zbioru — przypisała im nieujemną masę, z własnościami monotoniczności i ciągłości wynikającymi z samych aksjomatów. Miara Lebesgue’a, zbudowana przez miarę zewnętrzną i kryterium Carathéodory’ego, uogólniła długość na ogromną klasę zbiorów, zachowując niezmienniczość translacyjną. Odkryliśmy zbiory miary zero — przeliczalne, a nawet nieprzeliczalny zbiór Cantora — pokazujące, że liczność i miara to różne pojęcia. Wreszcie funkcje mierzalne i przestrzeń probabilistyczna ujawniły, że rachunek prawdopodobieństwa jest teorią miary o masie $1$. W ostatnim rozdziale zbudujemy na tym fundamencie całkę Lebesgue’a — całkę, która całkuje „po wartościach”, a nie „po dziedzinie”, i bez trudu radzi sobie z granicami.