Równania różniczkowe zwyczajne

Streszczenie

Równania, w których niewiadomą jest funkcja: pojęcie rozwiązania i pola kierunkowego, zagadnienie początkowe Cauchy'ego i twierdzenie Picarda-Lindelöfa o istnieniu i jednoznaczności, równania o zmiennych rozdzielonych i liniowe pierwszego rzędu (czynnik całkujący), wzrost wykładniczy i logistyczny, równania liniowe drugiego rzędu (oscylator), portret fazowy układów oraz stabilność równowag — z dowodami metod i zastosowaniami ekonomicznymi. Każde twierdzenie z dowodem i rysunkiem.

Równanie różniczkowe to równanie, którego niewiadomą jest funkcja, a warunek wiąże ją z jej pochodnymi. To naturalny język dynamiki: opisuje, jak zmienia się kapitał, populacja, cena czy temperatura — gdy znamy nie samą wielkość, lecz prawo jej zmiany. W ekonomii równania różniczkowe stoją za modelami wzrostu (Solow, Ramsey), dynamiką cen i stabilnością równowag. Ten rozdział wprowadza je od pola kierunkowego, przez twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności, po metody rozwiązywania równań pierwszego i drugiego rzędu oraz analizę stabilności — z dowodami metod i rysunkiem do każdego pojęcia.

Pojęcie równania i rozwiązania

Definicja

Równanie różniczkowe zwyczajne

Równaniem różniczkowym zwyczajnym (RRZ) rzędu $n$ nazywamy związek

$$ F\big(x,\,y,\,y',\,\dots,\,y^{(n)}\big)=0, $$

w którym niewiadomą jest funkcja $y(x)$. Rozwiązaniem jest każda funkcja spełniająca równanie na pewnym przedziale. Rząd to najwyższa występująca pochodna.

Krzywa rozwiązania równania różniczkowego — Rozwiązanie równania $y'=0{,}5\,y$ to krzywa, której nachylenie w każdym punkcie równa się połowie jej wysokości. Funkcja wykładnicza $y=y_0 e^{0{,}5x}$ spełnia ten warunek — im wyżej, tym stromiej rośnie.

Definicja

Pole kierunkowe

Dla równania pierwszego rzędu $y'=f(x,y)$ w każdym punkcie płaszczyzny znamy nachylenie rozwiązania. Rysując krótkie odcinki o tych nachyleniach, otrzymujemy pole kierunkowe — „mapę prądów”, wzdłuż której płyną krzywe całkowe. Rozwiązanie to krzywa styczna do pola w każdym punkcie.

Twierdzenie

Zagadnienie Cauchy'ego: istnienie i jednoznaczność (Picard-Lindelöf)

Rozważmy zagadnienie początkowe $y'=f(x,y)$, $y(x_0)=y_0$. Jeśli $f$ oraz $\partial f/\partial y$ są ciągłe w otoczeniu $(x_0,y_0)$ (warunek Lipschitza względem $y$), to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie określone w pewnym otoczeniu $x_0$.

Dowód

Szkic: iteracja Picarda i kontrakcja

Postać całkowa. Zagadnienie jest równoważne równaniu całkowemu $y(x)=y_0+\int_{x_0}^x f\big(t,y(t)\big)\,dt$ — rozwiązanie to **punkt stały** operatora $T$ przypisującego funkcji $y$ prawą stronę.
Iteracje Picarda. Startujemy od $y_0(x)\equiv y_0$ i iterujemy $y_{n+1}=T(y_n)$. Powstaje ciąg coraz lepszych przybliżeń rozwiązania.
Kontrakcja. Warunek Lipschitza ($|f(x,u)-f(x,v)|\le L|u-v|$) sprawia, że na dostatecznie krótkim przedziale $T$ jest **odwzorowaniem zwężającym** w zupełnej przestrzeni funkcji ciągłych (z normą supremum, rozdział 2).
Twierdzenie Banacha o punkcie stałym. Odwzorowanie zwężające na przestrzeni zupełnej ma dokładnie jeden punkt stały — i to jest jedyne rozwiązanie. $\;$

∎

Jedna krzywa całkowa przez zadany punkt początkowy — Zagadnienie Cauchy’ego: przez zadany punkt początkowy $(x_0,y_0)$ przechodzi **dokładnie jedna** krzywa całkowa. Warunek początkowy „wybiera” jedno rozwiązanie z całej rodziny — krzywe całkowe się nie przecinają.

Równania pierwszego rzędu

Twierdzenie

Równania o zmiennych rozdzielonych

Równanie $y'=g(x)\,h(y)$ rozwiązujemy, rozdzielając zmienne i całkując:

$$ \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx. $$

Dowód

Uzasadnienie metody rozdzielania zmiennych

Funkcja pomocnicza. Niech $H$ będzie pierwotną $\tfrac1{h}$, czyli $H'=\tfrac1h$. Rozważmy $H\big(y(x)\big)$.
Reguła łańcuchowa. $\dfrac{d}{dx}H\big(y(x)\big)=H'(y)\,y'=\dfrac{y'}{h(y)}=\dfrac{g(x)h(y)}{h(y)}=g(x)$, gdzie skorzystaliśmy z równania.
Całkowanie. Skoro pochodna $H(y(x))$ równa się $g(x)$, to $H\big(y(x)\big)=\int g(x)\,dx + C$ — dokładnie wzór „rozdzielony”. Odwracając $H$, dostajemy $y$. $\;$

∎

Rodzina rozwiązań jako koncentryczne okręgi — Rodzina rozwiązań równania o zmiennych rozdzielonych $y'=-x/y$ to okręgi $x^2+y^2=C$ — różne stałe całkowania dają różne krzywe. Warunek początkowy wybiera jeden okrąg z rodziny.

Twierdzenie

Równanie liniowe pierwszego rzędu (czynnik całkujący)

Równanie $y'+p(x)\,y=q(x)$ rozwiązujemy, mnożąc przez czynnik całkujący $\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}$:

$$ y(x)=\frac{1}{\mu(x)}\Big(\int \mu(x)q(x)\,dx + C\Big). $$

Dowód

Metoda czynnika całkującego

Pomysł. Chcemy, by lewa strona stała się pochodną iloczynu. Mnożymy równanie przez $\mu$: $\mu y'+\mu p y=\mu q$.
Dobór $\mu$. Bierzemy $\mu=e^{\int p}$, dla którego $\mu'=p\mu$. Wtedy lewa strona to dokładnie $(\mu y)'=\mu y'+\mu' y=\mu y'+\mu p y$.
Całkowanie. Równanie przybiera postać $(\mu y)'=\mu q$. Całkujemy: $\mu y=\int\mu q\,dx + C$.
Wynik. Dzieląc przez $\mu$ otrzymujemy wzór na $y$. Zabieg ten zamienia równanie różniczkowe w jedno całkowanie. $\;$

∎

Rozwiązania równania liniowego zbiegające do stanu ustalonego — Równanie liniowe $y'+y=1$ (czynnik $\mu=e^{x}$): rozwiązania $y=1+Ce^{-x}$ zbiegają do stanu ustalonego $y=1$ niezależnie od warunku początkowego. Człon przejściowy $Ce^{-x}$ wygasa wykładniczo.

Wzrost wykładniczy i logistyczny

Przykład

Wzrost wykładniczy

Równanie $y'=ky$ — tempo zmian proporcjonalne do stanu — ma rozwiązanie $y=y_0 e^{kx}$. Dla $k\gt 0$ to wzrost wykładniczy (procent składany w czasie ciągłym, kapitalizacja ciągła $A=A_0 e^{rt}$), dla $k\lt 0$ — rozpad (deprecjacja, dyskontowanie).

Wzrost i rozpad wykładniczy — Równanie $y'=ky$: dla $k\gt 0$ rozwiązanie rośnie wykładniczo (kapitalizacja ciągła), dla $k\lt 0$ — maleje do zera (rozpad, deprecjacja). Tempo jest zawsze proporcjonalne do bieżącego stanu.

Przykład

Model logistyczny

Gdy wzrost napotyka ograniczenie zasobów, używamy równania logistycznego

$$ y'=r\,y\Big(1-\frac{y}{K}\Big),\qquad y(t)=\frac{K}{1+Ce^{-rt}}. $$

Rozwiązanie ma kształt litery $S$: początkowo niemal wykładnicze, potem hamuje i nasyca się przy pojemności $K$. To model dyfuzji innowacji, nasycenia rynku i wzrostu populacji.

Krzywa logistyczna w kształcie litery S nasycająca się do pojemności — Krzywa logistyczna: wzrost niemal wykładniczy na początku, punkt przegięcia przy połowie pojemności $K/2$ (najszybszy przyrost), a następnie nasycenie do poziomu $K$. Klasyczny kształt nasycania się rynku.

Równania drugiego rzędu i układy

Definicja

Równanie liniowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach

Równanie $a y''+b y'+c y=0$ rozwiązujemy przez równanie charakterystyczne $a\lambda^2+b\lambda+c=0$. Pierwiastki rzeczywiste dają rozwiązania wykładnicze, a zespolone $\lambda=\alpha\pm i\beta$ — drgania $e^{\alpha t}(A\cos\beta t+B\sin\beta t)$. To model oscylatora: wahadła, obwodu RLC, cyklu koniunkturalnego.

Drgania harmoniczne i drgania tłumione — Oscylator $y''+y=0$ daje czyste drgania $\cos t$ (linia ciągła); dodanie tłumienia ($y''+0{,}3y'+y=0$) zamienia je w **drgania gasnące** o malejącej amplitudzie (linia przerywana). Pierwiastki zespolone charakterystyczne kodują częstość i tłumienie.

Definicja

Układy równań i portret fazowy

Układ $\mathbf{x}'=\mathbf{F}(\mathbf{x})$ opisuje ewolucję wektora stanu. Portret fazowy to rysunek trajektorii w przestrzeni stanów: każdy punkt płynie zgodnie z polem wektorowym $\mathbf{F}$. Pozwala badać zachowanie bez jawnego rozwiązania — w szczególności wokół punktów równowagi $\mathbf{F}(\mathbf{x}^*)=\mathbf{0}$.

Portret fazowy z trajektoriami spiralującymi do równowagi — Portret fazowy układu z drganiami tłumionymi: trajektorie spiralują do punktu równowagi w środku. Kierunek pola wektorowego (strzałki) wyznacza ruch stanu — spirala oznacza oscylacje wygasające w czasie.

Definicja

Stabilność punktu równowagi

Równowaga $x^*$ jest stabilna asymptotycznie, gdy rozwiązania startujące w pobliżu do niej wracają, i niestabilna, gdy się od niej oddalają. Dla $y'=f(y)$ rozstrzyga znak pochodnej: $f'(x^*)\lt 0$ — stabilna, $f'(x^*)\gt 0$ — niestabilna (linearyzacja wokół równowagi).

Równowaga stabilna i niestabilna z kierunkami przepływu — Stabilność na osi stanu: w równowadze stabilnej (po lewej) strzałki przepływu celują do środka — odchylenia zanikają; w niestabilnej (po prawej) uciekają na zewnątrz. Znak $f'(x^*)$ rozstrzyga, do której sytuacji należy równowaga.

Przykład

Zastosowanie: zbieżność do równowagi rynkowej

W modelu dostosowania cen tempo zmiany ceny jest proporcjonalne do nadwyżki popytu: $p'=\gamma\big(D(p)-S(p)\big)$. Jeśli popyt maleje, a podaż rośnie z ceną, to równowaga $p^*$ (gdzie $D=S$) jest stabilna — cena rynkowa do niej zbiega niezależnie od punktu startowego. To dynamiczne uzasadnienie statycznej równowagi popytu i podaży.

Zbieżność ceny rynkowej do stabilnej równowagi — Dynamika ceny: gdy cena jest poniżej równowagi $p^*$, nadwyżka popytu pcha ją w górę; powyżej — nadwyżka podaży w dół. Strzałki zbiegają do $p^*$, więc równowaga rynkowa jest stabilna — cena do niej wraca.

Podsumowanie

Równania różniczkowe opisują prawa zmian, a ich rozwiązaniami są funkcje. Pole kierunkowe pokazało, że jakościowe zachowanie widać jeszcze przed rozwiązaniem, a twierdzenie Picarda-Lindelöfa zagwarantowało, że dobrze postawione zagadnienie początkowe ma dokładnie jedno rozwiązanie (przez iterację i punkt stały — most do zupełności z rozdziału 2). Poznaliśmy dwie podstawowe metody pierwszego rzędu: rozdzielanie zmiennych i czynnik całkujący dla równań liniowych, oraz najważniejsze modele dynamiki — wykładniczy i logistyczny. Równania drugiego rzędu dały oscylacje (tłumione i nietłumione), a układy — portrety fazowe i analizę stabilności równowag, której ekonomicznym zwieńczeniem jest dynamiczna zbieżność do równowagi rynkowej. W ostatnich dwóch rozdziałach wyjdziemy poza całkę Riemanna ku teorii miary i całce Lebesgue’a — fundamentowi nowoczesnej teorii prawdopodobieństwa.