Całka Riemanna: nieoznaczona, oznaczona, niewłaściwe

Streszczenie

Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona, techniki całkowania (przez części i przez podstawienie), suma Riemanna i całka oznaczona jako pole, sumy Darboux i całkowalność, twierdzenie o wartości średniej, podstawowe twierdzenie rachunku całkowego (obie części) z dowodami, całki niewłaściwe pierwszego i drugiego rodzaju z kryterium porównawczym oraz zastosowania ekonomiczne. Każde twierdzenie z dowodem i rysunkiem.

Całkowanie to odwrotność różniczkowania i jednocześnie sposób na zsumowanie nieskończenie wielu nieskończenie małych przyczynków — pola pod krzywą, wartości oczekiwanej, łącznego dochodu. Te dwie pozornie różne idee (pierwotna funkcji oraz granica sum pól prostokątów) łączy podstawowe twierdzenie rachunku całkowego — jeden z najważniejszych wyników całej matematyki. Ten rozdział buduje całkę Riemanna od obu stron, dowodzi twierdzenia łączącego, a następnie rozszerza całkę na przedziały nieskończone i funkcje nieograniczone (całki niewłaściwe), kluczowe dla rozkładów prawdopodobieństwa.

Całka nieoznaczona

Definicja

Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona

Funkcją pierwotną funkcji $f$ nazywamy każdą $F$ spełniającą $F'=f$. Jeśli $F$ jest pierwotną, to wszystkie pierwotne mają postać $F+C$ ($C$ — stała). Zbiór wszystkich pierwotnych zapisujemy jako całkę nieoznaczoną:

$$ \int f(x)\,dx = F(x)+C. $$

Rodzina funkcji pierwotnych różniących się o stałą — Całka nieoznaczona to **rodzina** krzywych różniących się o stałą $C$ — wszystkie mają w każdym punkcie to samo nachylenie $f(x)$. Wybór konkretnej pierwotnej to ustalenie warunku początkowego (jednej wartości).

Twierdzenie

Całkowanie przez części

Dla różniczkowalnych $u,v$:

$$ \int u\,v'\,dx = uv-\int u'\,v\,dx. $$

Dowód

Całkowanie przez części (z reguły iloczynu)

Reguła iloczynu. Z rozdziału 6: $(uv)'=u'v+uv'$.
Całkujemy obustronnie. $uv=\int (uv)'\,dx=\int u'v\,dx+\int uv'\,dx$.
Przenosimy człon. Stąd $\int uv'\,dx=uv-\int u'v\,dx$. Całkowanie przez części stanowi „odwrócenie” reguły iloczynu — pozwala przenieść różniczkowanie z jednego czynnika na drugi. $\;$

∎

Schemat całkowania przez podstawienie — Całkowanie przez podstawienie: zamiana zmiennej $u=g(x)$ „prostuje” złożoną funkcję podcałkową. Element $du=g'(x)\,dx$ przelicza miarę, a całka po nowej zmiennej bywa elementarna — to odwrócona reguła łańcuchowa.

Całka oznaczona jako pole

Definicja

Suma Riemanna i całka oznaczona

Dzielimy $[a,b]$ punktami $a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_n=b$ i wybieramy punkty pośrednie $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$. Sumą Riemanna jest

$$ S=\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\,\Delta x_i,\qquad \Delta x_i=x_i-x_{i-1}. $$

Jeśli przy średnicy podziału dążącej do zera sumy mają wspólną granicę niezależną od wyborów, nazywamy ją całką oznaczoną $\int_a^b f(x)\,dx$.

Prostokąty sumy Riemanna przybliżające pole pod krzywą — Suma Riemanna przybliża pole pod krzywą prostokątami o wysokościach $f(\xi_i)$. Im drobniejszy podział, tym wierniej schodkowa figura odwzorowuje pole — w granicy dostajemy całkę oznaczoną.

Definicja

Sumy Darboux i całkowalność

Suma dolna $L(P)=\sum m_i\Delta x_i$ używa minimów $m_i=\inf_{[x_{i-1},x_i]}f$, a suma górna $U(P)=\sum M_i\Delta x_i$ — maksimów. Zawsze $L(P)\le U(P)$. Funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna, gdy kres górny sum dolnych równa się kresowi dolnemu sum górnych — wspólna wartość to całka.

Sumy dolna i górna Darboux zaciskające pole — Suma dolna (ciemne prostokąty wpisane) i górna (jasne, opisane) zaciskają pole z dwóch stron. Funkcja jest całkowalna, gdy luka $U(P)-L(P)$ kurczy się do zera przy zagęszczaniu podziału.

Twierdzenie

Całkowalność funkcji ciągłych

Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym $[a,b]$ jest całkowalna w sensie Riemanna. (Wynika to z jednostajnej ciągłości — Heine-Cantor z rozdziału 5 — która pozwala uczynić $U(P)-L(P)$ dowolnie małym.)

Zageszczanie podziału zbiegające do pola pod krzywą — Zagęszczanie podziału: przy coraz drobniejszych prostokątach suma dolna rośnie, górna maleje, a obie zbiegają do wspólnej granicy — pola pod krzywą. Ciągłość gwarantuje, że ten proces zawsze się domyka.

Twierdzenie

Własności całki oznaczonej

Całka jest liniowa ($\int(\alpha f+\beta g)=\alpha\int f+\beta\int g$), addytywna względem przedziału ($\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b$) i monotoniczna (jeśli $f\le g$, to $\int_a^b f\le\int_a^b g$).

Addytywność całki: pole jako suma dwóch przylegających pól — Addytywność względem przedziału: pole pod krzywą od $a$ do $b$ to suma pól od $a$ do $c$ oraz od $c$ do $b$. Całkę dużego przedziału można rozbić na kawałki — podstawa rachowania pól złożonych.

Twierdzenie

Twierdzenie o wartości średniej dla całek

Jeśli $f$ jest ciągła na $[a,b]$, to istnieje $c\in[a,b]$ takie, że

$$ \int_a^b f(x)\,dx=f(c)\,(b-a). $$

Wartość $f(c)=\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f$ to średnia funkcji na przedziale.

Dowód

Twierdzenie o wartości średniej dla całek

Oszacowanie kresami. Niech $m$ i $M$ to minimum i maksimum $f$ na $[a,b]$ (istnieją z Weierstrassa). Z monotoniczności całki $m(b-a)\le\int_a^b f\le M(b-a)$.
Średnia leży między kresami. Dzieląc przez $b-a\gt 0$: $m\le\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\le M$.
Twierdzenie Darboux (wartość pośrednia). Funkcja ciągła $f$ przyjmuje każdą wartość między $m$ a $M$, w tym wartość średnią. Istnieje więc $c$ z $f(c)=\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f$, czyli $\int_a^b f=f(c)(b-a)$. $\;$

∎

Prostokąt średniej wysokości o polu równym całce — Twierdzenie o wartości średniej: istnieje wysokość $f(c)$ taka, że prostokąt $f(c)\cdot(b-a)$ ma **dokładnie** to samo pole, co obszar pod krzywą. „Nadmiar” nad $f(c)$ równoważy „niedobór” poniżej.

Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego

To ono łączy dwa oblicza całki — pierwotną i pole — i czyni z całkowania działanie odwrotne do różniczkowania.

Twierdzenie

PTRC, część 1: różniczkowanie całki

Jeśli $f$ jest ciągła, to funkcja pola $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ jest różniczkowalna i $F'(x)=f(x)$. Całka oznaczona ze zmienną górną granicą jest więc pierwotną funkcji podcałkowej.

Dowód

PTRC część 1

Przyrost pola. Z addytywności $F(x+h)-F(x)=\int_x^{x+h} f(t)\,dt$ — to pole cienkiego paska szerokości $h$.
Wartość średnia. Z twierdzenia o wartości średniej dla całek istnieje $c_h\in[x,x+h]$ z $\int_x^{x+h} f=f(c_h)\,h$.
Iloraz różnicowy. Zatem $\tfrac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(c_h)$.
Granica. Gdy $h\to 0$, punkt $c_h$ wciśnięty w $[x,x+h]$ dąży do $x$, a z ciągłości $f(c_h)\to f(x)$. Stąd $F'(x)=f(x)$. $\;$

∎

Funkcja pola jako pierwotna, jej pochodna równa wysokości krzywej — PTRC część 1: funkcja pola $F(x)=\int_a^x f$ akumuluje obszar pod krzywą. Jej tempo wzrostu w punkcie $x$ to wysokość krzywej $f(x)$ — dokładanie cienkiego paska o szerokości $dx$ zwiększa pole o $f(x)\,dx$.

Twierdzenie

PTRC, część 2: wzór Newtona-Leibniza

Jeśli $G$ jest dowolną pierwotną funkcji ciągłej $f$, to

$$ \int_a^b f(x)\,dx=G(b)-G(a). $$

Całkę oznaczoną liczymy więc, znajdując pierwotną i odejmując jej wartości na końcach.

Dowód

Wzór Newtona-Leibniza

Pierwotna kanoniczna. Z części 1 funkcja $F(x)=\int_a^x f$ jest pierwotną $f$, przy czym $F(a)=0$ i $F(b)=\int_a^b f$.
Pierwotne różnią się o stałą. Dowolna inna pierwotna $G$ spełnia $(G-F)'=f-f=0$, więc $G-F$ jest stała: $G=F+C$.
Odejmowanie znosi stałą. Stąd $G(b)-G(a)=\big(F(b)+C\big)-\big(F(a)+C\big)=F(b)-F(a)=\int_a^b f-0=\int_a^b f$. $\;$

∎

Pole pod krzywą jako różnica wartości funkcji pierwotnej — Wzór Newtona-Leibniza: pole pod $f$ na $[a,b]$ to przyrost pierwotnej $G(b)-G(a)$. Zamiast sumować nieskończenie wiele prostokątów, wystarczy odjąć dwie wartości funkcji pierwotnej — istota mocy rachunku całkowego.

Całki niewłaściwe

Całkę rozszerzamy na przedziały nieskończone i funkcje nieograniczone — przez przejście graniczne.

Definicja

Całka niewłaściwa pierwszego rodzaju

Dla nieskończonego przedziału definiujemy

$$ \int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{T\to\infty}\int_a^T f(x)\,dx, $$

o ile granica istnieje (wtedy całka jest zbieżna). Na przykład $\int_1^\infty\tfrac{dx}{x^2}=1$, ale $\int_1^\infty\tfrac{dx}{x}$ jest rozbieżna.

Skończone pole pod krzywą na nieskończonym przedziale — Całka niewłaściwa pierwszego rodzaju: pole pod $\tfrac1{x^2}$ rozciąga się w nieskończoność, lecz jego suma jest **skończona** (równa $1$). Ogon krzywej maleje dość szybko, by całkowite pole nie uciekło do nieskończoności.

Definicja

Całka niewłaściwa drugiego rodzaju

Gdy $f$ jest nieograniczona przy końcu przedziału (osobliwość w $a$):

$$ \int_a^b f(x)\,dx=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx. $$

Np. $\int_0^1\tfrac{dx}{\sqrt{x}}=2$ (zbieżna mimo „pionowej” asymptoty), lecz $\int_0^1\tfrac{dx}{x}$ jest rozbieżna.

Skończone pole pod krzywą z pionową asymptotą — Całka niewłaściwa drugiego rodzaju: pod $\tfrac{1}{\sqrt{x}}$ pojawia się pionowa asymptota w zerze, lecz pole tuż przy niej jest na tyle „szczupłe”, że całka pozostaje skończona ($=2$). Osobliwość nie zawsze psuje zbieżność.

Twierdzenie

Kryterium porównawcze dla całek niewłaściwych

Jeśli $0\le f\le g$, to ze zbieżności $\int g$ wynika zbieżność $\int f$, a z rozbieżności $\int f$ — rozbieżność $\int g$. To całkowy odpowiednik kryterium porównawczego dla szeregów.

Pole pod mniejszą funkcją ograniczone przez pole pod większą — Kryterium porównawcze: skoro $0\le f\le g$, pole pod $f$ (ciemne) nie przekracza pola pod majorantą $g$ (jasne). Skończoność większego pola wymusza skończoność mniejszego — i odwrotnie dla rozbieżności.

Przykład

Zastosowanie: nadwyżka konsumenta

W ekonomii pole pod krzywą popytu $D(q)$ ponad ceną rynkową $p^*$ to nadwyżka konsumenta — łączna „oszczędność” nabywców skłonnych zapłacić więcej niż cena:

$$ CS=\int_0^{q^*}\big(D(q)-p^*\big)\,dq. $$

Analogicznie całka gęstości prawdopodobieństwa daje prawdopodobieństwo, a $\int x f(x)\,dx$ — wartość oczekiwaną.

Nadwyżka konsumenta jako pole między krzywą popytu a ceną — Nadwyżka konsumenta to pole między krzywą popytu a poziomą ceną $p^*$, od zera do ilości równowagi $q^*$. Całka mierzy łączną korzyść tych, którzy zapłaciliby więcej, niż musieli — typowe ekonomiczne zastosowanie całki oznaczonej.

Podsumowanie

Całkę zbudowaliśmy z dwóch stron. Od strony algebraicznej to odwracanie różniczkowania — funkcja pierwotna i całka nieoznaczona, z technikami całkowania przez części (odwrócona reguła iloczynu) i przez podstawienie (odwrócona reguła łańcuchowa). Od strony geometrycznej to granica sum Riemanna — pole pod krzywą, zaciskane sumami Darboux, istniejące dla każdej funkcji ciągłej. Te dwa światy spina podstawowe twierdzenie rachunku całkowego: funkcja pola jest pierwotną (część 1), a całkę oznaczoną liczymy jako przyrost pierwotnej (Newton-Leibniz, część 2). Wreszcie całki niewłaściwe rozszerzyły pojęcie na nieskończone przedziały i osobliwości — bez nich nie byłoby rozkładów ciągłych ani wartości oczekiwanej. W następnym rozdziale wykorzystamy całki i pochodne do badania równań różniczkowych — równań, w których niewiadomą jest funkcja.