Rachunek różniczkowy jednej zmiennej

Streszczenie

Pochodna od ilorazu różnicowego do stycznej, różniczkowalność a ciągłość, reguły różniczkowania (iloczyn, iloraz, reguła łańcuchowa), twierdzenie Fermata o ekstremum, twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a o wartości średniej, reguła de l'Hospitala, monotoniczność i wypukłość z pochodnych, wzór Taylora z resztą oraz pełny schemat badania funkcji. Każde twierdzenie z dowodem i osobnym rysunkiem.

Pochodna mierzy tempo zmian — i jest jednym z najpotężniejszych narzędzi całej matematyki stosowanej. W ekonomii to koszt krańcowy, użyteczność krańcowa i elastyczność; w ekonometrii — gradient funkcji wiarygodności, którego zerowanie daje estymatory. Ten rozdział buduje rachunek różniczkowy jednej zmiennej od ilorazu różnicowego, przez reguły różniczkowania i twierdzenia o wartości średniej, aż po wzór Taylora i pełne badanie przebiegu funkcji. Konsekwentnie: każda definicja, twierdzenie i przykład mają osobny rysunek, a każde twierdzenie — dowód.

Pochodna

Definicja

Pochodna funkcji w punkcie

Pochodną funkcji $f$ w punkcie $x_0$ nazywamy granicę ilorazu różnicowego:

$$ f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, $$

o ile istnieje (i jest skończona). Iloraz $\tfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ to nachylenie siecznej przez punkty $\big(x_0,f(x_0)\big)$ i $\big(x_0+h,f(x_0+h)\big)$.

Sieczne zbiegające do stycznej przy malejącym przyroście — Pochodna jako granica siecznych: gdy drugi punkt zsuwa się ku $x_0$ (malejące $h$), sieczne (jasne) obracają się do położenia granicznego — **stycznej** (ciemna). Jej nachylenie to $f'(x_0)$.

Styczna i przybliżenie liniowe.

Pochodna daje najlepsze przybliżenie liniowe funkcji w pobliżu $x_0$:

$$ f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0). $$

To równanie stycznej. W ekonometrii dokładnie tak linearyzujemy nieliniowe modele wokół punktu (rozwinięcie pierwszego rzędu).

Styczna jako liniowe przybliżenie funkcji w punkcie — Styczna $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ „przylega” do wykresu w $x_0$: w małym otoczeniu funkcja i jej styczna są niemal nieodróżnialne. Stąd pochodna jako współczynnik przybliżenia liniowego.

Twierdzenie

Różniczkowalność pociąga ciągłość

Jeśli $f$ ma pochodną w $x_0$, to jest w $x_0$ ciągła. (Twierdzenie odwrotne jest fałszywe: $f(x)=|x|$ jest ciągła w $0$, lecz nieróżniczkowalna.)

Dowód

Pochodna ⇒ ciągłość

Rozpisanie przyrostu. Dla $h\ne 0$: $$f(x_0+h)-f(x_0)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\cdot h.$$
Przejście graniczne. Pierwszy czynnik dąży do $f'(x_0)$ (skończona), drugi do $0$, więc iloczyn dąży do $f'(x_0)\cdot 0=0$.
Wniosek. Zatem $f(x_0+h)\to f(x_0)$, czyli $f$ jest ciągła w $x_0$. Różniczkowalność to warunek **mocniejszy** niż ciągłość. $\;$

∎

Funkcja moduł z narożnikiem w zerze, nieróżniczkowalna — Ciągłość nie wystarcza do różniczkowalności: $f(x)=|x|$ jest ciągła wszędzie, ale w $x=0$ ma **ostry narożnik** — sieczne z lewej dążą do nachylenia $-1$, a z prawej do $+1$. Granica ilorazu różnicowego nie istnieje.

Reguły różniczkowania

Twierdzenie

Reguły różniczkowania

Dla różniczkowalnych $f,g$:

$$ (f+g)'=f'+g',\quad (fg)'=f'g+fg',\quad \Big(\tfrac{f}{g}\Big)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}, $$

oraz reguła łańcuchowa dla złożenia: $(g\circ f)'(x)=g'\big(f(x)\big)\cdot f'(x)$.

Dowód

Reguła iloczynu (wzór Leibniza)

Zabieg „dodania i odjęcia”. W liczniku ilorazu różnicowego iloczynu wstawiamy człon pośredni: $$\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,g(x+h)+f(x)\,\frac{g(x+h)-g(x)}{h}.$$
Granice czynników. Przy $h\to 0$: pierwszy iloraz dąży do $f'(x)$, $g(x+h)\to g(x)$ (bo $g$ ciągła jako różniczkowalna), drugi iloraz dąży do $g'(x)$.
Wniosek. Stąd $(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$. $\;$

∎

Przyrost pola prostokąta ilustrujący regułę iloczynu — Reguła iloczynu geometrycznie: pole prostokąta $f\cdot g$ przyrasta o dwa paski — $g\,\mathrm{d}f$ (poziomy) i $f\,\mathrm{d}g$ (pionowy); maleńki narożnik $\mathrm{d}f\,\mathrm{d}g$ jest pomijalny. Stąd $(fg)'=f'g+fg'$.

Reguła łańcuchowa jako mnożenie temp zmian — Reguła łańcuchowa: jeśli $u=f(x)$ zmienia się w tempie $f'(x)$, a $g$ reaguje na $u$ w tempie $g'(u)$, to złożenie zmienia się w tempie **iloczynu** tych temp: $(g\circ f)'=g'(f(x))\cdot f'(x)$. Tempa się mnożą jak przekładnie.

Przykład

Pochodne funkcji elementarnych

$$ (x^n)'=n x^{n-1},\quad (e^x)'=e^x,\quad (\ln x)'=\tfrac1x,\quad (\sin x)'=\cos x,\quad (\cos x)'=-\sin x. $$

Funkcja wykładnicza $e^x$ jest swoją własną pochodną — to wyróżnia ją spośród wszystkich funkcji i czyni fundamentem modeli wzrostu.

Funkcja kwadratowa i jej liniowa pochodna — Funkcja $f(x)=x^2$ i jej pochodna $f'(x)=2x$. Tam, gdzie $f$ maleje ($x \lt 0$), pochodna jest ujemna; w minimum ($x=0$) zeruje się; gdy $f$ rośnie ($x \gt 0$) — dodatnia. Pochodna „opowiada” o nachyleniu.

Twierdzenia o wartości średniej

Twierdzenie

Twierdzenie Fermata o ekstremum

Jeśli $f$ ma w wewnętrznym punkcie $x_0$ ekstremum lokalne i jest tam różniczkowalna, to $f'(x_0)=0$. Punkty zerowania pochodnej nazywamy stacjonarnymi.

Dowód

Twierdzenie Fermata

Załóżmy maksimum. Niech $f(x_0)\ge f(x)$ dla $x$ blisko $x_0$. Wtedy $f(x_0+h)-f(x_0)\le 0$ dla małych $|h|$.
Iloraz z prawej. Dla $h\gt 0$ iloraz $\tfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\le 0$, więc granica prawostronna $f'(x_0)\le 0$.
Iloraz z lewej. Dla $h\lt 0$ iloraz $\tfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\ge 0$ (dzielimy przez liczbę ujemną), więc granica lewostronna $f'(x_0)\ge 0$.
Wniosek. Skoro pochodna istnieje, obie granice są równe $f'(x_0)$; jednocześnie $\le 0$ i $\ge 0$, więc $f'(x_0)=0$. $\;$

∎

Pozioma styczna w wewnętrznym maksimum funkcji — Twierdzenie Fermata: w wewnętrznym maksimum styczna jest **pozioma** ($f'=0$). Z lewej funkcja rośnie, z prawej maleje — pochodna przechodzi przez zero. Uwaga: zerowanie pochodnej jest konieczne, lecz nie wystarczające dla ekstremum.

Twierdzenie

Twierdzenie Rolle'a

Jeśli $f$ jest ciągła na $[a,b]$, różniczkowalna na $(a,b)$ oraz $f(a)=f(b)$, to istnieje punkt $c\in(a,b)$ z $f'(c)=0$.

Dowód

Twierdzenie Rolle'a

Weierstrass. Funkcja ciągła na $[a,b]$ osiąga tam maksimum i minimum (rozdział 5).
Przypadek stały. Jeśli oba kresy są równe, $f$ jest stała i $f'\equiv 0$ — bierzemy dowolny $c$.
Przypadek niestały. W przeciwnym razie któryś z kresów różni się od wspólnej wartości brzegowej $f(a)=f(b)$, więc jest osiągany w punkcie **wewnętrznym** $c\in(a,b)$.
Fermat. W tym wewnętrznym ekstremum z twierdzenia Fermata $f'(c)=0$. $\;$

∎

Twierdzenie

Twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej

Jeśli $f$ jest ciągła na $[a,b]$ i różniczkowalna na $(a,b)$, to istnieje $c\in(a,b)$ takie, że

$$ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. $$

Średnie tempo zmian na przedziale jest osiągane jako tempo chwilowe w pewnym punkcie.

Dowód

Twierdzenie Lagrange'a (sprowadzenie do Rolle'a)

Odejmujemy sieczną. Niech $h(x)=f(x)-\Big[f(a)+\tfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\Big]$ — różnica między funkcją a prostą sieczną przez końce.
Warunki Rolle'a. Funkcja $h$ jest ciągła na $[a,b]$, różniczkowalna na $(a,b)$ oraz $h(a)=h(b)=0$.
Stosujemy Rolle'a. Istnieje $c$ z $h'(c)=0$. Ale $h'(x)=f'(x)-\tfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
Wniosek. Z $h'(c)=0$ wynika $f'(c)=\tfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$. $\;$

∎

Styczna równoległa do siecznej w twierdzeniu o wartości średniej — Twierdzenie Lagrange’a: istnieje punkt $c$, w którym styczna jest **równoległa** do siecznej łączącej końce wykresu. Nachylenie siecznej to średnie tempo zmian — i jest ono gdzieś osiągane jako tempo chwilowe.

Przykład

Reguła de l'Hospitala

Dla symboli nieoznaczonych $\tfrac00$ lub $\tfrac\infty\infty$, jeśli istnieje granica ilorazu pochodnych, to

$$ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}. $$

Wynika z uogólnionego twierdzenia o wartości średniej (Cauchy’ego). Przykład: $\lim_{x\to 0}\tfrac{\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\tfrac{\cos x}{1}=1$.

Granica sinus x przez x równa jeden w zerze — Reguła de l’Hospitala dla $\tfrac{\sin x}{x}$ w $x\to 0$: obie funkcje znikają w zerze ($\tfrac00$), ale iloraz ich **nachyleń** ($\cos x$ i $1$) dąży do $1$. Wykres ilorazu gładko dochodzi do wartości $1$.

Monotoniczność, wypukłość i wzór Taylora

Twierdzenie

Monotoniczność z pochodnej

Jeśli $f'(x)\gt 0$ na przedziale, to $f$ jest tam rosnąca; jeśli $f'(x)\lt 0$ — malejąca; jeśli $f'\equiv 0$ — stała.

Dowód

Znak pochodnej a monotoniczność

Bierzemy dwa punkty. Niech $x_1\lt x_2$ z przedziału. Z twierdzenia Lagrange'a istnieje $c\in(x_1,x_2)$ z $$f(x_2)-f(x_1)=f'(c)\,(x_2-x_1).$$
Czytamy znaki. Czynnik $x_2-x_1\gt 0$. Jeśli $f'\gt 0$, to prawa strona jest dodatnia, więc $f(x_2)\gt f(x_1)$ — funkcja rosnąca.
Pozostałe przypadki. Analogicznie $f'\lt 0$ daje malejącą, a $f'\equiv 0$ — stałą. $\;$

∎

Przedziały wzrostu i spadku funkcji wyznaczone przez znak pochodnej — Znak pochodnej steruje monotonicznością: na przedziałach, gdzie $f' \gt 0$, funkcja rośnie; gdzie $f' \lt 0$ — maleje. Miejsca zerowe pochodnej (kropki) oddzielają te przedziały i są kandydatami na ekstrema.

Definicja

Wypukłość i punkt przegięcia

Funkcja jest wypukła na przedziale, gdy jej wykres leży pod każdą sieczną (równoważnie: $f''\ge 0$), i wklęsła, gdy leży nad sieczną ($f''\le 0$). Punkt, w którym wypukłość zmienia się na wklęsłość (zmiana znaku $f''$), to punkt przegięcia.

Funkcja wypukła pod cięciwą z dodatnią drugą pochodną — Wypukłość: wykres funkcji wypukłej leży **pod** cięciwą łączącą dwa jej punkty (i nad każdą styczną). Druga pochodna $f''\ge 0$ oznacza, że nachylenie rośnie — krzywa „wygina się” w górę.

Punkt przegięcia ze zmianą wypukłości — Punkt przegięcia: tu krzywa przechodzi z wklęsłej (na lewo) w wypukłą (na prawo), a druga pochodna zmienia znak przez zero. Styczna w punkcie przegięcia przecina wykres.

Twierdzenie

Wzór Taylora z resztą Lagrange'a

Jeśli $f$ ma $n+1$ pochodnych, to dla $x$ blisko $a$

$$ f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + R_n(x),\qquad R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} $$

dla pewnego $\xi$ między $a$ a $x$. Wielomian Taylora to najlepsze przybliżenie funkcji wielomianem stopnia $n$.

Dowód

Postać reszty (szkic przez uogólnione Rolle'a)

Wielomian Taylora. Niech $P_n$ będzie wielomianem stopnia $n$, którego pochodne w $a$ aż do rzędu $n$ pokrywają się z pochodnymi $f$. Wtedy $R_n=f-P_n$ spełnia $R_n(a)=R_n'(a)=\dots=R_n^{(n)}(a)=0$.
Funkcja pomocnicza. Dla ustalonego $x$ dobieramy stałą $K$ tak, by $g(t)=f(t)-P_n(t)-K(t-a)^{n+1}$ spełniało $g(x)=0$. Wtedy $g$ ma w $a$ zero rzędu $n+1$ oraz zero w $x$.
Wielokrotne Rolle'a. Stosując twierdzenie Rolle'a kolejno do $g,g',\dots,g^{(n)}$, otrzymujemy punkt $\xi$ z $g^{(n+1)}(\xi)=0$.
Odczyt $K$. Ponieważ $P_n^{(n+1)}\equiv 0$, mamy $0=g^{(n+1)}(\xi)=f^{(n+1)}(\xi)-K(n+1)!$, skąd $K=\tfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}$. Podstawiając do $g(x)=0$, dostajemy wzór na $R_n(x)$. $\;$

∎

Kolejne wielomiany Taylora przybliżające sinus — Wielomiany Taylora funkcji $\sin x$ wokół zera: stopień $1$ (styczna $x$), stopień $3$ ($x-\tfrac{x^3}{6}$) i stopień $5$ przylegają do krzywej na coraz szerszym przedziale. Im wyższy stopień, tym dłużej przybliżenie „trzyma się” funkcji.

Badanie przebiegu funkcji

Przykład

Pełny schemat badania funkcji

Pochodne dają kompletny przepis na naszkicowanie wykresu: (1) dziedzina i granice na krańcach (asymptoty), (2) miejsca zerowe $f$, (3) znak $f'$ — przedziały monotoniczności i ekstrema, (4) znak $f''$ — wypukłość i punkty przegięcia. Złożenie tych informacji jednoznacznie wyznacza kształt krzywej.

Pełne badanie przebiegu funkcji sześciennej z ekstremami i przegięciem — Pełne badanie funkcji $f(x)=\tfrac13 x^3-x$: ekstrema w punktach stacjonarnych $x=\pm 1$ (maksimum lokalne i minimum lokalne), punkt przegięcia w $x=0$, gdzie $f''$ zmienia znak, oraz symetria nieparzysta. Wszystko odczytane z $f'$ i $f''$.

Podsumowanie

Pochodna — granica ilorazu różnicowego — okazała się jednocześnie nachyleniem stycznej, tempem zmian i współczynnikiem najlepszego przybliżenia liniowego. Pokazaliśmy, że różniczkowalność jest mocniejsza od ciągłości, wyprowadziliśmy reguły różniczkowania (z regułą iloczynu i łańcuchową) i zebraliśmy pochodne funkcji elementarnych. Rdzeń teorii to twierdzenia o wartości średniej: Fermata (ekstremum ⇒ $f'=0$), Rolle’a i Lagrange’a — z nich płynie związek znaku pochodnej z monotonicznością, reguła de l’Hospitala i kontrola błędu w wzorze Taylora. Druga pochodna dołożyła wypukłość i punkty przegięcia, a wszystko razem złożyło się na schemat badania funkcji. W ekonometrii ten aparat to podstawa optymalizacji: zerowanie gradientu (Fermat), warunki drugiego rzędu (wypukłość) i linearyzacja (Taylor). W następnym rozdziale uogólnimy pochodną na odwzorowania wielu zmiennych.