Szeregi liczbowe i funkcyjne, zbieżność jednostajna

Streszczenie

Nieskończone sumy pod kontrolą: definicja szeregu i sumy częściowej, szereg geometryczny i harmoniczny, warunek konieczny zbieżności, kryteria (porównawcze, d'Alemberta, Cauchy'ego, całkowe, Leibniza), zbieżność bezwzględna i warunkowa, a następnie ciągi i szeregi funkcyjne: zbieżność punktowa kontra jednostajna, ciągłość granicy jednostajnej i kryterium Weierstrassa. Każde twierdzenie z dowodem i rysunkiem.

Szereg to próba dodania nieskończenie wielu liczb. Czasem ta suma istnieje (i wynosi np. $2$), a czasem rośnie bez końca — choć poszczególne składniki maleją do zera. Rozróżnienie tych przypadków to jeden z najsubtelniejszych i najważniejszych wątków analizy: stoją za nim wzory na wartość bieżącą renty wieczystej, rozwinięcia funkcji w szeregi Taylora i Fouriera oraz cała teoria aproksymacji. W drugiej części rozdziału przejdziemy od liczb do funkcji i zobaczymy, że istnieją dwa istotnie różne sposoby, w jakie ciąg funkcji może zbiegać — a tylko jeden z nich zachowuje ciągłość.

Szereg i jego suma

Definicja

Szereg i suma częściowa

Dla ciągu $(a_n)$ tworzymy ciąg sum częściowych

$$ S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n = a_1+a_2+\cdots+a_N. $$

Szeregiem $\sum_{n=1}^\infty a_n$ nazywamy ten ciąg sum częściowych. Szereg jest zbieżny do sumy $S$, gdy $S_N\to S$; w przeciwnym razie jest rozbieżny. Zbieżność szeregu to więc zbieżność ciągu jego sum częściowych.

Sumy częściowe szeregu zbiegające schodkowo do sumy — Sumy częściowe $S_N$ szeregu $\sum 2^{-n}$ rosną schodkowo ku sumie $S=1$. Każdy kolejny składnik dokłada coraz mniejszy „schodek”, a wysokość schodów dąży do poziomej linii $S$.

Twierdzenie

Szereg geometryczny

Dla $|q|\lt 1$ szereg geometryczny jest zbieżny i

$$ \sum_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}. $$

Dla $|q|\ge 1$ jest rozbieżny.

Dowód

Suma szeregu geometrycznego

Zwinięcie sumy częściowej. Niech $S_N=1+q+\cdots+q^N$. Mnożąc przez $(1-q)$, większość wyrazów się znosi (suma teleskopowa): $$(1-q)S_N = 1-q^{N+1},\qquad\text{więc}\qquad S_N=\frac{1-q^{N+1}}{1-q}.$$
Przejście graniczne. Dla $|q|\lt 1$ mamy $q^{N+1}\to 0$ (ciąg geometryczny z rozdziału 3), zatem $$S_N\to\frac{1-0}{1-q}=\frac{1}{1-q}.$$
Rozbieżność. Dla $|q|\ge 1$ wyrazy $q^n$ nie dążą do zera, więc — jak pokaże następne twierdzenie — szereg nie może być zbieżny. $\;$

∎

Składniki szeregu geometrycznego jako malejące prostokąty sumujące się do skończonej wartości — Szereg geometryczny $\sum_{n\ge0} q^n$ dla $q=\tfrac12$: pole kolejnych prostokątów o szerokości $1$ i wysokościach $1,\tfrac12,\tfrac14,\dots$ sumuje się do $\tfrac{1}{1-q}=2$. Każdy składnik to połowa poprzedniego.

Warunek konieczny i szereg harmoniczny

Twierdzenie

Warunek konieczny zbieżności

Jeśli szereg $\sum a_n$ jest zbieżny, to $a_n\to 0$. Równoważnie: gdy wyrazy nie dążą do zera, szereg jest rozbieżny.

Dowód

Zbieżność wymusza znikanie wyrazów

Wyraz jako różnica sum. Zauważmy, że $a_n=S_n-S_{n-1}$.
Obie sumy mają tę samą granicę. Skoro szereg jest zbieżny, $S_n\to S$ oraz $S_{n-1}\to S$ (ten sam ciąg, przesunięty o jeden).
Wniosek. Z arytmetyki granic $a_n=S_n-S_{n-1}\to S-S=0$. Uwaga: to warunek **konieczny, lecz nie wystarczający** — zaraz zobaczymy szereg o wyrazach dążących do zera, który mimo to jest rozbieżny. $\;$

∎

Wyrazy szeregu dążące do zera jako warunek konieczny zbieżności — Warunek konieczny: aby szereg miał szansę być zbieżny, jego wyrazy muszą dążyć do zera (tu $a_n\to 0$ między obwiednią $\pm\tfrac1n$). To jednak za mało — sam szereg harmoniczny pokaże, że $a_n\to 0$ nie gwarantuje zbieżności.

Przykład

Szereg harmoniczny jest rozbieżny

Szereg $\sum_{n=1}^\infty \tfrac1n$ ma wyrazy dążące do zera, a mimo to jest rozbieżny. Grupujemy wyrazy w bloki o długościach $1,2,4,8,\dots$:

$$ \underbrace{\tfrac12}_{\ge 1/2}+\underbrace{\tfrac13+\tfrac14}_{\ge 1/2}+\underbrace{\tfrac15+\cdots+\tfrac18}_{\ge 1/2}+\cdots $$

Każdy blok ma sumę co najmniej $\tfrac12$, więc sumy częściowe rosną nieograniczenie. To pokazuje, że samo $a_n\to 0$ nie wystarcza.

Rosnące bez ograniczenia sumy częściowe szeregu harmonicznego — Szereg harmoniczny: sumy częściowe $H_N$ rosną jak $\ln N$ — powoli, lecz bez końca (linia ciągła nad słupkami). Bloki o sumie $\ge\tfrac12$ spychają sumę coraz wyżej, więc szereg jest rozbieżny mimo $\tfrac1n\to 0$.

Kryteria zbieżności

Dla szeregów o wyrazach nieujemnych sumy częściowe rosną, więc zbieżność jest równoważna ich ograniczoności — stąd wygodne kryteria porównawcze.

Twierdzenie

Kryterium porównawcze

Niech $0\le a_n\le b_n$ od pewnego miejsca. Jeśli $\sum b_n$ jest zbieżny, to $\sum a_n$ też. Jeśli $\sum a_n$ jest rozbieżny, to $\sum b_n$ też.

Dowód

Porównanie z szeregiem majoryzującym

Monotoniczność sum. Wyrazy są nieujemne, więc obie sumy częściowe $A_N=\sum_{n\le N}a_n$ i $B_N=\sum_{n\le N}b_n$ są rosnące.
Ograniczenie. Z $a_n\le b_n$ wynika $A_N\le B_N\le B$, gdzie $B=\sum b_n$ to (skończona) suma szeregu majoryzującego.
Domknięcie. Ciąg $A_N$ jest rosnący i ograniczony z góry przez $B$, więc — z twierdzenia o ciągu monotonicznym (rozdział 3) — jest zbieżny. Druga część to kontrapozycja pierwszej. $\;$

∎

Słupki mniejszego szeregu pod słupkami większego, zbieżnego — Kryterium porównawcze: słupki $a_n$ (ciemne) tkwią pod słupkami $b_n$ (jasne). Jeśli „dach” $\sum b_n$ ma skończone pole, to mniejsze pole $\sum a_n$ także — większy szereg majoryzuje mniejszy.

Twierdzenie

Kryterium d'Alemberta (ilorazowe)

Niech $a_n\gt 0$ i niech istnieje granica $g=\lim_{n\to\infty}\tfrac{a_{n+1}}{a_n}$. Wtedy: dla $g\lt 1$ szereg jest zbieżny, dla $g\gt 1$ — rozbieżny, a dla $g=1$ kryterium nie rozstrzyga.

Ilorazy kolejnych wyrazów dążące do granicy poniżej jedynki — Kryterium d’Alemberta bada iloraz sąsiednich wyrazów $\tfrac{a_{n+1}}{a_n}$. Gdy stabilizuje się poniżej $1$ (linia $g \lt 1$), wyrazy maleją w tempie geometrycznym i szereg jest zbieżny; powyżej $1$ — rosną i szereg jest rozbieżny.

Twierdzenie

Kryterium Cauchy'ego (pierwiastkowe)

Niech $a_n\ge 0$ i $g=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}$. Wtedy dla $g\lt 1$ szereg jest zbieżny, dla $g\gt 1$ — rozbieżny, a dla $g=1$ kryterium milczy. Jest ono nieco silniejsze od ilorazowego i kluczowe dla szeregów potęgowych.

Pierwiastki n-tego stopnia z wyrazów dążące do granicy poniżej jedynki — Kryterium Cauchy’ego porównuje $\sqrt[n]{a_n}$ z jedynką. Gdy pierwiastek $n$-tego stopnia z wyrazu ustala się poniżej $1$, wyrazy zachowują się jak $g^n$ — szereg geometryczny zbieżny majoryzuje badany.

Twierdzenie

Kryterium całkowe

Jeśli $f$ jest dodatnia, malejąca i $a_n=f(n)$, to szereg $\sum a_n$ i całka $\int_1^\infty f(x)\,dx$ są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne. Stąd np. szereg $\sum \tfrac{1}{n^p}$ jest zbieżny dokładnie dla $p\gt 1$.

Słupki szeregu porównane z polem pod malejącą krzywą — Kryterium całkowe: słupki o polach $f(n)$ oszacowują pole pod malejącą krzywą $f(x)$ z dwóch stron. Skończoność całki przesądza o zbieżności szeregu — i odwrotnie.

Zbieżność bezwzględna i warunkowa

Definicja

Zbieżność bezwzględna i warunkowa

Szereg $\sum a_n$ jest zbieżny bezwzględnie, gdy zbieżny jest szereg wartości bezwzględnych $\sum |a_n|$. Jeśli $\sum a_n$ jest zbieżny, lecz $\sum |a_n|$ rozbieżny, mówimy o zbieżności warunkowej.

Zawieranie zbieżności bezwzględnej w zbieżności warunkowej — Hierarchia zbieżności: zbiór szeregów zbieżnych **bezwzględnie** zawiera się w zbiorze wszystkich zbieżnych. Pierścień między nimi to szeregi zbieżne **warunkowo** — jak $\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$, zbieżny, lecz nie po wzięciu modułów.

Twierdzenie

Zbieżność bezwzględna pociąga zwykłą

Jeśli $\sum |a_n|$ jest zbieżny, to $\sum a_n$ też jest zbieżny.

Dowód

Bezwzględna ⇒ zwykła

Sprytne oszacowanie. Dla każdego $n$ zachodzi $0\le a_n+|a_n|\le 2|a_n|$ (bo $a_n\ge -|a_n|$).
Porównanie. Szereg $\sum 2|a_n|$ jest zbieżny (założenie), więc z kryterium porównawczego zbieżny jest szereg o nieujemnych wyrazach $\sum (a_n+|a_n|)$.
Różnica zbieżnych. Zatem $$\sum a_n=\sum\big[(a_n+|a_n|)-|a_n|\big]$$ jest różnicą dwóch szeregów zbieżnych, więc sam jest zbieżny. $\;$

∎

Słupki a_n i 2 razy moduł a_n ilustrujące oszacowanie z dowodu — Idea dowodu: dodając do wyrazu $a_n$ jego moduł, dostajemy wielkość nieujemną i nie większą niż $2|a_n|$ (jasny słupek majoryzuje). Szereg $\sum 2|a_n|$ jest zbieżny, więc i $\sum(a_n+|a_n|)$ — a stąd już $\sum a_n$.

Twierdzenie

Kryterium Leibniza

Jeśli $b_n\ge 0$ maleje do zera, to szereg naprzemienny $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} b_n = b_1-b_2+b_3-\cdots$ jest zbieżny, a jego suma leży między każdymi dwiema kolejnymi sumami częściowymi.

Dowód

Kryterium Leibniza (szereg naprzemienny)

Dwa podciągi sum. Sumy parzyste $S_{2n}$ rosną: $S_{2n+2}-S_{2n}=b_{2n+1}-b_{2n+2}\ge 0$. Sumy nieparzyste $S_{2n+1}$ maleją: $S_{2n+1}-S_{2n-1}=-(b_{2n}-b_{2n+1})\le 0$.
Zaklinowanie. Ponadto $S_{2n}\le S_{2n+1}$ (bo $S_{2n+1}-S_{2n}=b_{2n+1}\ge 0$). Mamy więc rosnący ciąg $S_{2n}$ ograniczony z góry (np. przez $S_1$) i malejący $S_{2n+1}$ ograniczony z dołu — oba zbieżne.
Wspólna granica. Ich różnica $S_{2n+1}-S_{2n}=b_{2n+1}\to 0$, więc obie granice są równe pewnemu $S$. Zatem cały ciąg $S_N\to S$, a $S$ leży między kolejnymi sumami częściowymi. $\;$

∎

Sumy częściowe szeregu naprzemiennego zaciskające się wokół sumy — Szereg naprzemienny $\sum\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}$: sumy częściowe skaczą wokół sumy $S=\ln 2$, za każdym razem o połowę bliżej. Sumy parzyste podchodzą z dołu, nieparzyste z góry — suma jest „zaklinowana” między nimi.

Ciągi i szeregi funkcyjne

Gdy wyrazami są funkcje $f_n(x)$, samo „zbieżność” rozdziela się na dwa różne pojęcia.

Definicja

Zbieżność punktowa i jednostajna

Ciąg funkcji $f_n\colon X\to\mathbb{R}$ zbiega punktowo do $f$, gdy dla każdego ustalonego $x$ liczby $f_n(x)\to f(x)$. Zbiega jednostajnie, gdy

$$ \sup_{x\in X} |f_n(x)-f(x)| \to 0, $$

czyli jednym doborem $N$ panujemy nad błędem naraz we wszystkich punktach.

Funkcje x do potęgi n zbiegające punktowo na odcinku jednostkowym — Zbieżność punktowa: $f_n(x)=x^n$ na $[0,1]$ dąży w każdym punkcie do $0$ dla $x \lt 1$, ale do $1$ w $x=1$. Dla różnych $x$ „odpowiednie $N$” jest różne — przy $x$ bliskim $1$ trzeba czekać bardzo długo.

Funkcje mieszczące się w rurze epsilon wokół funkcji granicznej — Zbieżność jednostajna: cały wykres $f_n$ mieści się w „rurze” o szerokości $\varepsilon$ wokół granicy $f$. Jeden numer $N$ działa dla wszystkich $x$ równocześnie — to znacznie silniejszy warunek niż punktowy.

Twierdzenie

Granica jednostajna funkcji ciągłych jest ciągła

Jeśli funkcje $f_n$ są ciągłe i $f_n\to f$ jednostajnie, to $f$ jest ciągła. (Przy zbieżności tylko punktowej własność ta zawodzi.)

Dowód

Argument „trzech epsilonów”

Cel. Pokazać ciągłość $f$ w dowolnym punkcie $x_0$, czyli że małe $|x-x_0|$ daje małe $|f(x)-f(x_0)|$.
Wybór $n$ (jednostajność). Dla danego $\varepsilon\gt 0$ z jednostajnej zbieżności istnieje $n$ z $\sup_x|f_n(x)-f(x)|\lt\varepsilon/3$.
Wybór $\delta$ (ciągłość $f_n$). Funkcja $f_n$ jest ciągła w $x_0$, więc istnieje $\delta\gt 0$ takie, że $|x-x_0|\lt\delta$ daje $|f_n(x)-f_n(x_0)|\lt\varepsilon/3$.
Złożenie przez nierówność trójkąta. Dla $|x-x_0|\lt\delta$: $$|f(x)-f(x_0)|\le |f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(x_0)|+|f_n(x_0)-f(x_0)|\lt \tfrac\varepsilon3+\tfrac\varepsilon3+\tfrac\varepsilon3=\varepsilon.$$ Zatem $f$ jest ciągła w $x_0$. $\;$

∎

Nieciągła funkcja graniczna jako punktowa granica funkcji ciągłych — Dlaczego jednostajność jest konieczna: punktowa granica ciągłych funkcji $x^n$ to funkcja **nieciągła** — równa $0$ na $[0,1)$ i skacząca do $1$ w $x=1$. Skok w granicy zdradza, że zbieżność nie była jednostajna.

Twierdzenie

Kryterium Weierstrassa (test M)

Jeśli $|f_n(x)|\le M_n$ dla wszystkich $x$ oraz szereg liczbowy $\sum M_n$ jest zbieżny, to szereg funkcyjny $\sum f_n(x)$ jest zbieżny jednostajnie (i bezwzględnie).

Dowód

Majoranta liczbowa wymusza jednostajność

Warunek Cauchy'ego dla $\sum M_n$. Skoro $\sum M_n$ jest zbieżny, dla $\varepsilon\gt 0$ istnieje $N$ takie, że dla $k\gt m\ge N$ zachodzi $\sum_{n=m+1}^{k} M_n\lt\varepsilon$.
Przeniesienie na funkcje. Dla **każdego** $x$ jednocześnie: $$\Big|\sum_{n=m+1}^{k} f_n(x)\Big|\le \sum_{n=m+1}^{k} |f_n(x)|\le \sum_{n=m+1}^{k} M_n\lt\varepsilon.$$
Jednostajna zupełność. Reszty szeregu są więc jednostajnie małe, niezależnie od $x$ — ciąg sum częściowych spełnia jednostajny warunek Cauchy'ego, a przestrzeń funkcji ograniczonych z normą supremum jest zupełna, więc szereg zbiega jednostajnie. $\;$

∎

Składniki szeregu funkcyjnego ograniczone przez zbieżną majorantę liczbową — Test Weierstrassa: jeśli każdy składnik $|f_n(x)|$ tkwi pod stałą $M_n$ (niezależnie od $x$), a liczby $M_n$ tworzą zbieżny szereg, to ich „dach” $\sum M_n$ majoryzuje szereg funkcyjny jednostajnie na całej dziedzinie.

Przykład

Szereg potęgowy i promień zbieżności

Szereg potęgowy $\sum_{n=0}^\infty c_n x^n$ ma promień zbieżności $R$ (dany wzorem Cauchy’ego-Hadamarda $\tfrac1R=\limsup\sqrt[n]{|c_n|}$): zbiega bezwzględnie dla $|x|\lt R$ i jest rozbieżny dla $|x|\gt R$. Na każdym domkniętym przedziale wewnątrz $(-R,R)$ zbieżność jest jednostajna, więc suma szeregu potęgowego jest funkcją ciągłą (a nawet gładką).

Przedział zbieżności szeregu potęgowego z promieniem R — Promień zbieżności: szereg potęgowy zbiega wewnątrz przedziału $(-R,R)$, jest rozbieżny na zewnątrz, a na krańcach $x=\pm R$ zachowanie bywa różne. W środku zbieżność jest na tyle „mocna” (jednostajna), że dziedziczy ciągłość i różniczkowalność.

Podsumowanie

Zbieżność szeregu to zbieżność jego sum częściowych — i ta prosta zasada zorganizowała cały rozdział. Wzorcem pozostaje szereg geometryczny ($\sum q^n=\tfrac{1}{1-q}$), a najważniejszą przestrogą — szereg harmoniczny, rozbieżny mimo $a_n\to 0$ (warunek $a_n\to 0$ jest konieczny, lecz nie wystarczający). Zbudowaliśmy arsenał kryteriów: porównawcze (fundament dla pozostałych), d’Alemberta i Cauchy’ego (tempo geometryczne), całkowe (most do całek) oraz Leibniza dla szeregów naprzemiennych; rozróżniliśmy też zbieżność bezwzględną (mocniejszą) od warunkowej. W części funkcyjnej kluczowe okazało się rozróżnienie zbieżności punktowej i jednostajnej: tylko ta druga zachowuje ciągłość granicy, a test Weierstrassa daje wygodne, liczbowe kryterium jednostajności — podstawę teorii szeregów potęgowych, Taylora i Fouriera. W następnym rozdziale wrócimy do pojedynczej funkcji i zbadamy granicę oraz ciągłość odwzorowań.