Analiza matematyczna — podręcznik

• Logika, zbiory, relacje i odwzorowania

  Fundament całej analizy: rachunek zdań i spójniki logiczne, kwantyfikatory i ich negacja, algebra zbiorów z prawami De Morgana, iloczyn kartezjański i zbiór potęgowy, relacje (równoważności i porządku) oraz odwzorowania — iniekcja, surjekcja, bijekcja, złożenie, funkcja odwrotna i moc zbioru aż po twierdzenie Cantora. Każde pojęcie z osobnym, profesjonalnym rysunkiem.

• Przestrzenie metryczne, unormowane i unitarne

  Pojęcie odległości w pełnej ogólności: aksjomaty metryki, katalog metryk (euklidesowa, miejska, maksimum, dyskretna), kule i ich zaskakujące kształty, normy i przestrzenie unormowane, iloczyn skalarny z nierównością Cauchy'ego-Schwarza i twierdzeniem Pitagorasa, zbiory otwarte i domknięte, ciągi zbieżne, warunek Cauchy'ego i zupełność (przestrzenie Banacha i Hilberta). Każde pojęcie z osobnym rysunkiem.

• Ciągi i ich granice

  Pełna teoria granicy ciągu: definicja epsilon-N, ograniczoność, jednoznaczność i arytmetyka granic, twierdzenie o trzech ciągach, zbieżność ciągów monotonicznych, liczba e, podciągi i twierdzenie Bolzana-Weierstrassa, granice niewłaściwe oraz zbieżność ciągów wektorowych po współrzędnych. Każde twierdzenie z dowodem i osobnym rysunkiem.

• Szeregi liczbowe i funkcyjne, zbieżność jednostajna

  Nieskończone sumy pod kontrolą: definicja szeregu i sumy częściowej, szereg geometryczny i harmoniczny, warunek konieczny zbieżności, kryteria (porównawcze, d'Alemberta, Cauchy'ego, całkowe, Leibniza), zbieżność bezwzględna i warunkowa, a następnie ciągi i szeregi funkcyjne: zbieżność punktowa kontra jednostajna, ciągłość granicy jednostajnej i kryterium Weierstrassa. Każde twierdzenie z dowodem i rysunkiem.

• Granica i ciągłość odwzorowań

  Granica funkcji w ujęciu Cauchy'ego (epsilon-delta) i Heinego (ciągowym) wraz z dowodem ich równoważności, granice jednostronne, ciągłość i jej rodzaje nieciągłości, złożenie funkcji ciągłych, a następnie trzy filary analizy na przedziale domkniętym: twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów, twierdzenie Darboux o wartości pośredniej i jednostajna ciągłość (Heine-Cantor). Każde twierdzenie z dowodem i rysunkiem.

• Rachunek różniczkowy jednej zmiennej

  Pochodna od ilorazu różnicowego do stycznej, różniczkowalność a ciągłość, reguły różniczkowania (iloczyn, iloraz, reguła łańcuchowa), twierdzenie Fermata o ekstremum, twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a o wartości średniej, reguła de l'Hospitala, monotoniczność i wypukłość z pochodnych, wzór Taylora z resztą oraz pełny schemat badania funkcji. Każde twierdzenie z dowodem i osobnym rysunkiem.

• Rachunek różniczkowy odwzorowań wielu zmiennych

  Pochodne cząstkowe i gradient, pochodna kierunkowa, różniczka i płaszczyzna styczna, związek różniczkowalności z ciągłością, twierdzenie Schwarza o symetrii pochodnych mieszanych, macierz Jacobiego i wielowymiarowa reguła łańcuchowa, a następnie optymalizacja: warunek konieczny (gradient zero), warunek dostateczny (określoność hesjanu), punkty siodłowe oraz ekstrema warunkowe z mnożnikami Lagrange'a. Każde twierdzenie z dowodem i rysunkiem.

• Analiza wypukła i optymalizacja

  Zbiory wypukłe i operacje, które wypukłość zachowują, funkcje wypukłe i wklęsłe wraz z charakteryzacją przez epigraf, kryteria pierwszego i drugiego rzędu, nierówność Jensena, quasi-wypukłość, a przede wszystkim twierdzenia czyniące optymalizację łatwą: minimum lokalne funkcji wypukłej jest globalne, a punkt stacjonarny jest minimum globalnym. Z zastosowaniami w programowaniu liniowym i metodzie najmniejszych kwadratów. Każde twierdzenie z dowodem i rysunkiem.

• Całka Riemanna: nieoznaczona, oznaczona, niewłaściwe

  Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona, techniki całkowania (przez części i przez podstawienie), suma Riemanna i całka oznaczona jako pole, sumy Darboux i całkowalność, twierdzenie o wartości średniej, podstawowe twierdzenie rachunku całkowego (obie części) z dowodami, całki niewłaściwe pierwszego i drugiego rodzaju z kryterium porównawczym oraz zastosowania ekonomiczne. Każde twierdzenie z dowodem i rysunkiem.

• Równania różniczkowe zwyczajne

  Równania, w których niewiadomą jest funkcja: pojęcie rozwiązania i pola kierunkowego, zagadnienie początkowe Cauchy'ego i twierdzenie Picarda-Lindelöfa o istnieniu i jednoznaczności, równania o zmiennych rozdzielonych i liniowe pierwszego rzędu (czynnik całkujący), wzrost wykładniczy i logistyczny, równania liniowe drugiego rzędu (oscylator), portret fazowy układów oraz stabilność równowag — z dowodami metod i zastosowaniami ekonomicznymi. Każde twierdzenie z dowodem i rysunkiem.

• Funkcje zbioru, algebra zbiorów i miara Lebesgue'a

  Dlaczego całka Riemanna nie wystarcza i jak teoria miary ją zastępuje: algebry i sigma-algebry zbiorów, miara jako przeliczalnie addytywna funkcja zbioru, jej własności (monotoniczność, ciągłość), miara zewnętrzna i konstrukcja miary Lebesgue'a, mierzalność w sensie Carathéodory'ego, niezmienniczość translacyjna, zbiory miary zero i zbiór Cantora, funkcje mierzalne oraz przestrzeń probabilistyczna. Każde twierdzenie z dowodem i rysunkiem.

• Całka Lebesgue'a

  Całka, która całkuje po wartościach, a nie po dziedzinie: idea Lebesgue'a i porównanie z Riemannem, funkcje proste i ich całka, całka funkcji mierzalnej nieujemnej i dowolnej, przestrzeń funkcji całkowalnych, twierdzenia graniczne (o zbieżności monotonicznej, lemat Fatou, o zbieżności zdominowanej), funkcja Dirichleta, pojęcie „prawie wszędzie”, wartość oczekiwana jako całka oraz przestrzenie Lp. Każde twierdzenie z dowodem lub szkicem i rysunkiem — zwieńczenie podręcznika.